Seja uma função diferenciável em tal que

Seja a curva de equação

E um veto não nulo, tangente a em . Considere as afirmativas.

1. A derivada direcional
3. Se é um vetor qualquer e , então
4. é a equação da reta normal a em
5. Se é uma parametrização de e , então , onde

Assinale a resposta correta:

1. Todas são verdadeiras
2. Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras
3. Apenas a afirmativa IV é falsa
4. Apenas as afirmativas IV e V são falsas
5. Nenhuma das demais alternativas.

“”

Ora veja você se essa afirmativa não diz exatamente a mesma coisa que a anterior, só que com outras palavras?

Então é isso, já entendemos que esses dois vetores são perpendiculares e por isso o produto escalar entre eles é zero.

Verdade.

“Se é um vetor qualquer e , então ”

Se é o próprio vetor gradiente, então a derivada direcional na direção do vetor , que é o vetor gradiente, é máxima. Assim, a derivada direcional na direção de qualquer outro vetor vai ser sempre menor ou igual a derivada direcional máxima, que é aquela que a gente calcula na direção do vetor gradiente.

Belezinha?

“ é a equação da reta normal a em ”

Vamos encontrar a reta normal a essa curva. Para isso, temos um passo a passo.

Começamos substituindo por na equação:

Jogando tudo para um lado só e chamando de :

Agora a gente calcula o gradiente:

E substitui no ponto de interesse, que é o ponto ou seja, o ponto :

E finalmente, a equação da reta normal é:

Portanto, afirmativa falsa!

“Se é uma parametrização de e , então , onde

Quando temos que

Assim

E 5 é uma constante e derivada de constante vale zero.

Logo, essa afirmativa é verdadeira.