Considere a curva γ(t) = α(t), β(t) com γ(0) = 1,2 e a função f(x, y) = x^3 * y^3 - x * y . Suponha que γ' (0) ≠ (0,0) e que f ∘ γ(t) = 6 para todo t ∈ D_γ . Determine:

b A direção e sentido de maior decrescimento de f em (1,2) .

Passo 1

Fala aí galera, tudo bem?

Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Como também uma curva já parametrizada dada por:

γ t = α t ,   β t

Aqui precisamos calcular a direção e sentido de maior decrescimento de f em ( 1,2 ) .

Vocês têm alguma ideia de como podemos fazer isso?

Então galera, o sentido do maior decrescimento de uma função f em um dado ponto ( x 0 , y 0 ) é dado por:

- ∇ f ( x 0 , y 0 )

Ou seja, a direção do maior decrescimento coincide com o vetor gradiente da função no ponto.

Show de bola! Então vamos calcular o nosso vetor gradiente em ( 1,2 ) e determinar o sentido de maior decrescimento pedido.

Passo 2

Temos que:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Logo:

∂ f ∂ x = 3 x 2 y 3 - y

Em ( 1,2 ) , temos:

∂ f ∂ x 1,2 = 22

Já em relação a y , temos:

∂ f ∂ y = 3 y 2 x 3 - x

Em ( 1,2 ) :

∂ f ∂ y 1,2 = 11

Logo:

∇ f 1,2 = ( 22,11 )

A direção de maior decrescimento é dada pelo próprio vetor gradiente, ou seja:

( 22,11 )

Assim, o sentido de maior decrescimento vale:

- ∇ f ( 1,2 )

Ou seja:

- ( 22,11 )

Prontinho galera! Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

- ( 22,11 )

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