Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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Calculo 2 – UFPE – 2° EE
Suponha que o potencial numa lâmina plana é dada por
Em volts, e em cm.
- Dado um ponto arbitrário , determine a taxa de variação do potencial na direção do vetor
- Qual é a taxa máxima de variação do potencial no ponto ?
- Em que direção, a partir da origem, o potencial aumenta mais rápido?
- Em que direção, a partir da origem, o potencial se mantem constante?
Passo 1
Determinar a taxa de variação do potencial na direção do vetor significa, em outras palavras, que estamos calculando uma derivada direcional. Relembrando, uma derivada direcional é dada por:
Isto é, o produto interno do vetor gradiente (um vetor de derivadas parciais) da função um o vetor , o qual indica a direção. É importante destacar que o vetor tem que ser unitário! Caso ele não seja, temos que normalizar!
E é isto o que acontece nesta questão. O vetor possui uma normal diferente de 1. Para isto, basta tirar a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas. Portanto,
Como queremos normalizar este vetor e assim obter , basta dividir o vetor pela sua norma! Logo,
Bom, uma primeira parte já foi. Agora temos que obter o vetor gradiente. Ele é expresso por . Portanto, basta derivarmos a nossa parcialmente (lembrem-se que, ao derivarmos em relação a , consideramos uma constante, e vice-versa). Logo,
Agora, vamos calcular a derivada direcional ao fazermos o produto interno. Lembrando, somamos o produto da primeira coordenada de cada vetor pelo produto da segunda coordenada de cada vetor. Logo,
E assim terminamos a letra a).
Passo 2
A taxa máxima de variação em qualquer ponto é exatamente a norma do vetor gradiente. Como já calculamos o vetor gradiente no Passo anterior, basta substituirmos as coordenadas dos pontos e depois calculamos a norma deste vetor.
Obtendo o vetor gradiente no ponto primeiramente, temos:
Agora, vamos calcular a norma deste vetor gradiente. Para isto, basta tirarmos a raiz quadrada da soma dos quadrados das coordenadas. Portanto,
Logo, a taxa máxima de variação no ponto é .
Passo 3
Se queremos analisar qual a direção em que uma função aumenta mais rápido a partir de um ponto qualquer, basta analisarmos a direção do vetor gradiente neste ponto.
Portanto, se queremos verificar qual a direção que o potencial aumenta mais rápido a partir da origem, basta calcularmos . O resultado deste vetor é esta direção.
Como já obtemos anteriormente o vetor gradiente, basta substituirmos as coordenadas do ponto . Logo,
Portanto, a direção é .
Passo 4
Por fim, o potencial se mantém constante na direção perpendicular aquela que possui a maior taxa. Como calculamos no passo anterior, o potencial aumenta mais rapidamente na direção .
Portanto, se queremos obter a direção em que o potencial se mantém constante, basta obtermos uma direção perpendicular a esta obtida anteriormente. No caso, seria a direção , que consiste no eixo (a direção calculada no passo anterior consiste no eixo ).
Resposta
- A taxa de variação do potencial na direção do vetor é:
- A taxa máxima de variação do potencial no ponto é:
- A partir da origem, a taxa de variação é máxima na direção
- A partir da origem, potencial se mantém constante na direção , que consiste no eixo .