Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Seja diferenciável. Sabendo-se que no ponto o vetor aponta na direção e sentido de maior crescimento de em e que a derivada direcional de no ponto na direção de é , determine .

Passo 1

Sabemos que a direção e sentido em que a derivada direcional é máxima é a direção e sentido do vetor gradiente.

Assim, o vetor é um vetor que é paralelo ao vetor gradiente de :

Agora pegue essa informação e reserve rsrs

Passo 2

A segunda coisa dita pela questão é que a derivada direcional na direção do vetor de maior crescimento é .

E nós sabemos que essa derivada direcional é a derivada direcional máxima e que a derivada direcional máxima é igual ao módulo do vetor gradiente. Assim

Beleza, então vamos calcular o módulo de :

Assim

Passo 3

Agora vamos pegar a informação reservada no passo 1:

Assim

Substituindo então na primeira equação:

E portanto,

Assim, o vetor gradiente é

Resposta

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