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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

UFAM– Cálculo 2 – P1 – Questão 4

Um disco tem a forma do círculo x 2 + y 2 ≤ 1 . Supondo que a temperatura nos pontos do disco é dada por T x , y = x 2 - x + 2 y 2 , determine os pontos mais quentes e mais frios do disco

Passo 1

Oi, tudo bem? O problema nos deu uma função que representa a temperatura em um disco

T x , y = x 2 - x + 2 y 2

E pediu para calcularmos os pontos mais quentes e mais frios, mas com uma restrição! Tem que ser nesse disco

x 2 + y 2 ≤ 1

Quando queremos encontrar máximos e mínimos (ou mais quentes e frios como no nosso caso) com uma restrição você precisa lembrar de: MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

A função a ser minimizada/maximizada é a temperatura:

f x , y = x 2 - x + 2 y 2

E a restrição (só jogar todo conjunto para um mesmo lado e igualar a zero):

g x , y = x 2 + y 2 - 1

E aplicar a técnica dos multiplicadores!

Vamos revisar passo a passo?

  • Achar os pontos críticos fazendo ∇ f = 0
  • Calcular ∇ g
  • Montar um sistema com ∇ f = λ ∇ g e com a restrição x 2 + y 2 = 1
  • Encontrar os pontos que satisfazem esse sistema
  • E avaliar os pontos para saber qual é o máximo e qual é o mínimo

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Começando por calcular os gradientes

∇ f = 2 x - 1 ,   4 y = 0

Daqui temos duas equações:

2 x - 1 = 0 → x = 1 2

E

4 y = 0 → y = 0

Temos apenas um ponto crítico sem restrição:

P 1 1 2 , 0

Beleza? Esse ponto está dentro do disco, então precisamos avaliar ele também! Caso ele estivesse fora, daí iríamos descartar! Ok?

Passo 3

Agora vamos calcular ∇ g :

g x , y = x 2 + y 2

∇ g = ( 2 x ,   2 y )

Passo 4

Agora vamos montar nosso sistema de equações:

∇ f = λ ∇ g

2 x - 1 ,   4 y = λ ( 2 x ,   2 y )

Igualando as componentes temos um sistema

2 x - 1 = λ 2 x 4 y = λ 2 y x 2 + y 2 = 1

Agora #partiu resolver esse sistema!

Igualando os λ das duas primeiras equações:

4 y 2 y = 2 x - 1 2 x

Simplificando temos:

2 = 2 x - 1 2 x

x temos:

4 x = 2 x - 1

2 x = - 1

x = - 1 2

E agora vamos substituir esse x na restrição para saber os valores de y :

- 1 2 2 + y 2 = 1

y 2 = 1 - 1 4 = 3 4

y = ± 3 2

Aqui temos mais 2 pontos (um para cada valor de y):

P 2 - 1 2 , 3 2

P 3 - 1 2 , - 3 2

Tranquilo até aqui?

Passo 5

Nossa última missão é avaliar esses três pontos na função e aí verificar qual deles vai assumir o maior/menor valor:

Os pontos são

P 1 1 2 , 0

P 2 - 1 2 , 3 2

P 3 - 1 2 , - 3 2

A função é

f x , y = x 2 + 2 y 2 - x

Agora vamos substituir os três pontos na função:

f P 1 = 1 2 2 + 2 . 0 2 - 1 2 = - 1 4

f P 2 = - 1 2 2 + 2 3 2 2 - - 1 2 = 1 4 + 6 4 + 2 4 = 9 4

f P 3 = - 1 2 2 + 2 - 3 2 2 - - 1 2 = 1 4 + 6 4 + 2 4 = 9 4

Concluímos que o ponto P 1 1 2 , 0 é ponto de mínimo (mais frio do disco) e os pontos P 2 - 1 2 , 3 2 e P 3 - 1 2 , - 3 2 são pontos de máximos (mais quentes do disco)

Com os valores:

- 1 4 é valor mínimo e 9 4 máximo

Ufa! Terminamos!

Até próxima!

Resposta

P 1 1 2 , 0 : m a i s   f r i o

P 2 - 1 2 , 3 2   e   P 3 - 1 2 , - 3 2 : m a i s   q u e n t e s  

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