Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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USP – Cálculo 2 – 2019 – P2 – Exercício 19
Suponha que a função dada por
represente uma distribuição de temperatura em . Considere uma partícula sobre o ponto . A direção e o sentido de maior crescimento da temperatura desta partícula são os mesmos do vetor:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Passo 1
Fala pessoal, vamos resolver mais uma questão de derivada direcional?
O problema forneceu uma função de duas variáveis que representa a temperatura em cada ponto do , exceto na origem. O exercício quer saber qual a direção de maior crescimento da temperatura no ponto .
Para isso, você deve lembrar que se uma função é diferenciável, a derivada direcional numa dada direção é
Assim, essa derivada será máxima se o vetor gradiente for paralelo a . Portanto, a direção de maior crescimento é a direção do vetor gradiente!
Passo 2
O gradiente é dado por:
Calculando as derivadas parciais pela regra da cadeia:
Assim,
Passo 3
Substituindo o ponto :
Esse vetor é paralelo ao vetor
Essa é a direção de maior crescimento da função, de modo que a resposta é alternativa A!
Resposta
Alternativa A.