Seja a reta tangente, no ponto à curva que é a interseção do gráfico de com a superfície de equação . Considere a função . Sabe-se que a direção de máximo crescimento de num ponto , é paralela à reta .

Determine , a direção e sentido de maior crescimento de em e a maior taxa de variação de nesse ponto.

Podemos descobrir a direção dessa reta fazendo o produto vetorial entre o vetor gradiente de e o vetor gradiente da superfície . Isso porque como os vetores gradientes são ambos perpendiculares às suas respectivas superfícies, e a curva está tanto em uma superfície como em outra. Assim, para um ponto qualquer de , no caso, , o produto vetorial entre eles dá um vetor que é perpendicular a ambos, e tangente às superfícies, e, consequentemente, à .

Partiu então encontrar os vetores gradientes! Só precisamos derivar as equações e montar o vetor:

Lembrando que essa terceira coordenada normalmente é , pois ela vem da derivada de em relação a .

Derivando em relação a , temos o mesmo que derivando em relação a (pois é a contribuição em e de :

Da mesma forma, para a variável ,

E o gradiente é .

No ponto , vale:

Agora vamos encontrar o vetor gradiente da superfície dada:

Derivando-a em relação a , teremos:

Derivando-a em relação a , teremos:

Derivando-a em relação a z, teremos:

E, por fim, nosso gradiente é

Ele, no ponto , vale:

Pronto! Só fazer o vetor gradiente! Como o na frente do vetor gradiente de não vai afetar em nada no produto vetorial (apenas gerar um vetor múltiplo, mas de mesma direção), nosso produto fica:

E, finalmente, temos que a direção da reta tangente no ponto a é , pois o afeta apenas a multiplicidade do vetor diretor.

Mas, pelo o que o enunciado disse, a reta tangente a é paralela a direção de maior crescimento de . Então, pegamos esse vetor diretor de que encontramos no passo anterior e dizemos que ele é múltiplo do vetor gradiente de , pois é na sua direção que (e qualquer função) tem maior taxa de variação! Assim, poderemos descobrir em que ponto ocorre essa máxima taxa de variação.

Derivando , teremos:

E o vetor gradiente é o vetor no qual as coordenadas são as derivadas parciais:

Vamos então descobrir em que ponto ocorre essa maior taxa de variação da função? Sabendo que , o gradiente de é dado por:

E, como ele é paralelo ao vetor diretor da reta , então podemos dizer que um é múltiplo do outro:

Igualando cada coordenada desses dois vetores, sendo o diretor multiplicado por , uma constante, temos:

Agora é só resolver esse sistema! Mesmo tendo incógnitas e equações, como a prova não está (espero eu) zoando com a nossa cara, deve dar pra fazer ;)

Da segunda equação vemos que, como e estão ao quadrado, então, para ela dar , o único jeito é e ! Com isso já matamos duas das coordenadas!

Show, e para a terceira, podemos colocar esses valores de e na primeira equação:

E na terceira equação:

Multiplicando a primeira por e subtraindo da terceira, teremos:

E, jogando esse valor de na primeira equação novamente,

Com os valores do passo anterior, vemos que o ponto . Colocando esse ponto no gradiente , teremos a direção:

E vemos que encontramos a direção certa! Viu que ela é a mesma, digo, múltipla da direção da reta tangente, que tem como vetor diretor o vetor ?

Encontrando o módulo desse vetor, teremos:

E pronto, missão cumprida :D