Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional
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Questão 3: Considere a função , e o ponto .
- Qual a taxa de variação de , por unidade de comprimento, ao deslocarmos em linha reta do ponto ao , quando estivermos em ?
- Qual a direção (vetor unitário) de maior crescimento de no ponto ?
- Qual a taxa máxima de variação (por unidade de comprimento) de no ponto ?
Passo 1
Taxa de variação, já logo nos remete à derivada, não é mesmo? E é exatamente isso que vamos fazer aqui, só que com o detalhe de ser uma derivada direcional, já que queremos necessariamente na direção do ponto ao , saca?
Se chamarmos o vetor que dá a direção da linha reta de até de , então a gente calcula essa taxa, ou melhor, derivada direcional, assim (teoria):
Temos então duas coisas a fazer: primeiro, encontrar esse vetor , e segundo determinar esse gradiente de . Bora?
Passo 2
Como já vimos, o vetor é o vetor que dá a direção da retinha de a . Podemos sempre encontra-lo fazendo assim:
Como e ...
O módulo do vetor então é...
Logo, o vetor é...
Passo 3
Quanto ao gradiente de ...
Calculando essas derivadas já que ...
O vetor gradiente é então...
Aplicando o vetor gradiente no ponto ...
Passo 4
Então a derivada direcional de para é de acordo com a fórmula que vimos...
Passo 5
O vetor de maior crescimento em se você se recordar está sempre na direção do vetor gradiente! Então se chamarmos esse vetor de , ele se calcula...
O motivo de dividir o vetor pelo seu módulo é só porque queremos o vetor unitário na direção do vetor gradiente, saca? Então no ponto ...
Como o módulo desse vetor é...
Assim...
Passo 6
A taxa máxima de variação no ponto é o próprio módulo do vetor na direção máxima, ou seja o módulo do vetor gradiente!
No caso, a gente já acabou de calcular e ele vale...