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Exercícios Resolvidos de Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

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Enunciado

Derivadas Direcionais

Determine a direção em que ocorre a menor taxa de variação da função

f x , y , z = x 2 y 3 + 1 + z x 4

No ponto 1,0 , - 2

  1. - 8,0 , 4
  2. - 6,0 , - 4
  3. - 8,3 , - 4
  4. 6,3 , 4
  5. Nenhuma das outras alternativas.

Passo 1

A direção onde a temos a menor taxa de variação é a direção oposta ao do vetor gradiente:

u → = - ∇ f P 0

Devemos achar o vetor gradiente e depois substituir os valores de x , y e z . O vetor gradiente vai ser

∇ f = 2 x y 3 + 4 z 1 + z x 3 , 3 x 2 y 2 , 4 x 1 + z x 3

Passo 2

Substituindo os valores do ponto vamos encontrar

∇ f 1,0 , - 2 = 2 ⋅ 1 ⋅ 0 3 + 4 - 2 1 + - 2 ⋅ 1 3 , 3 ⋅ 1 2 ⋅ 0 2 , 4 ⋅ 1 ⋅ 1 + - 2 ⋅ 1 3

∇ f 1,0 , - 2 = 8,0 , - 4

Passo 3

A direção que queremos vai ser

u → = - ∇ f P 0

u → = - 8,0 , - 4 = - 8,0 , 4

Resposta

Alternativa (a)

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