A derivada direcional de num ponto é maior na direção e sentido de . Nessa direção o valor da derivada é . Qual é o gradiente de em ?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e) Nenhuma das demais alternativas.

Então vamos ter

Multiplicando por dos 2 lados:

Agora tem que ficar atento no enunciado!

Ele disse que a derivada direcional é maior na direção e sentido de , e isso é uma característica do gradiente (a função cresce o mais rápido no sentido do gradiente). Isso significa que e são paralelos, então o ângulo entre eles é zero. E por que eu disse isso? Pra gente aproveitar das propriedades do produto escalar!

O produto escalar de 2 vetores é o produto dos módulos dos vetores vezes o cosseno do ângulo entre eles, logo:

E .

Então juntando com o que a gente achou antes:

Show! Achamos que o gradiente é 2 vezes maior que , e já sabemos que eles têm a mesma direção e sentido, então