Uma carga elétrica está uniformemente distribuída com densidade volumétrica constante ρ em um volume cilíndrico reto, de comprimento infinito e raio R (veja a figura abaixo).

Considere que o potencial elétrico V é igual a zero V = 0 em r = R , onde r denota a distância até o eixo de simetria do cilindro maciço.

Nessas condições,

a Calcule o módulo do campo elétrico E para r < R .

b Calcule o potencial elétrico V para r < R .

c Calcule a diferença de potencial entre o ponto r = 0 e o ponto r = R .

d Faça os gráficos do campo elétrico E e do potencial elétrico V em função de r , para 0 ≤ r ≤ R .

Passo 1

a Calcule o módulo do campo elétrico E para r < R .

Aplicando a Lei de Gauss à simetria cilíndrica, teremos:

∮ E → ∙ d A → = q i n t ϵ 0

E r × 2 π r L = q i n t ϵ 0

Onde r é o raio da seção transversal da nossa gaussiana cilíndrica.

E r = q i n t 2 π ϵ 0 r L

Nesse caso, a gaussiana engloba apenas parte do cilindro, logo:

q i n t = ∫ ρ d V = ρ V o l

q i n t = ρ π r 2 L

Logo, o campo elétrico será dado por:

E r = ρ π r 2 L 2 π ϵ 0 r L

E r = ρ r 2 ϵ 0

Passo 2

b Calcule o potencial elétrico V para r < R .

O potencial elétrico está relacionado ao campo elétrico pela equação:

V f - V i = - ∫ i f E → ∙ d r →

Aplicando ao nosso caso, teremos:

V R - V r = - ∫ r R ρ r 2 ϵ 0 d r

Onde V R = 0 . Logo:

- V r = - ∫ r R ρ r 2 ϵ 0 d r

V r = ρ 2 ϵ 0 ∫ r R r   d r

V r = ρ 2 ϵ 0   r 2 2 r R

V r = ρ 4 ϵ 0   R 2 - r 2

Passo 3

c Calcule a diferença de potencial entre o ponto r = 0 e o ponto r = R .

Δ V = V 0 - V R

Δ V = ρ R 2 4 ϵ 0 - 0 = ρ R 2 4 ϵ 0

Δ V = ρ R 2 4 ϵ 0

Passo 4

d Faça os gráficos do campo elétrico E e do potencial elétrico V em função de r , para 0 ≤ r ≤ R .

O campo elétrico varia linearmente com o raio, então vai ter essa cara.

Já o potencial é uma equação de segundo grau, com a concavidade voltada para baixo.

Resposta

a

E r = ρ r 2 ϵ 0

b

V r = ρ 4 ϵ 0   R 2 - r 2

c

Δ V = ρ R 2 4 ϵ 0

d

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