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Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Carga Pontual

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Enunciado

Considere um disco de raio R cuja densidade de carga é σ r = C r 2 .

Determine:

a O potencial elétrico no ponto P , localizado a uma distância z acima do centro do disco, conforme a figura ao lado.

b O campo elétrico no ponto P .

c O valor do campo elétrico no limite R ≫ z .

d O valor do potencial elétrico no limite z ≫ R .

Passo 1

a O potencial elétrico no ponto P , localizado a uma distância z acima do centro do disco, conforme a figura ao lado.

A ideia inicial é dividir esse disco em vários anéis concêntricos, cada um com carga d q . Vamos começar escrevendo o potencial elétrico d V gerado por cada um desses anéis no ponto P .

d V = 1 4 π ϵ 0 d q r '

Onde d q = σ   d A e r ' = r 2 + z 2 . Logo:

d V = 1 4 π ϵ 0 σ . d A r 2 + z 2

Onde, tratando-se de um anel, d A = 2 π r   d r :

d V = 1 4 π ϵ 0 σ . 2 π r r 2 + z 2 d r

Substituindo σ = C r 2 do enunciado

d V = C 2 ϵ 0 r 3 r 2 + z 2 d r

Assim, o potencial elétrico resultante será:

V = C 2 ϵ 0 ∫ 0 R r 3 r 2 + z 2 d r

Agora o problema é basicamente cálculo.

Passo 2

Vamos resolver essa integral com uma substituição simples, beleza?

u = r 2 + z 2 → d u = 2 r   d r

r 2 = u - z 2

d u 2 = r   d r

O numerador dentro da integral fica

r 3 d r = r 2 r d r = u - z 2 d u 2

E os limites de integração serão

r = 0 → u = z 2

r = R → u = R 2 + z 2

Logo:

V = C 2 ϵ 0 ∫ z 2 R 2 + z 2 u - z 2 d u 2 u 1 / 2 = C 4 ϵ 0 ∫ z 2 R 2 + z 2 u 1 / 2   - z 2 u 1 / 2 d u

V = C 4 ϵ 0 2 3 u 3 / 2   - 2 z 2 u 1 / 2   u = z 2 u = R 2 + z 2

V = C 4 ϵ 0 2 3 R 2 + z 2 3 / 2 - 2 z 2 R 2 + z 2 - 2 3 z 2 3 / 2 + 2 z 2 z 2

V = C 2 ϵ 0 R 2 + z 2 3 / 2 - z 3 3 - z 2 R 2 + z 2 1 / 2 + z 3

V = C 2 ϵ 0 R 2 + z 2 3 / 2 3 - z 2 R 2 + z 2 1 / 2 + 2 3 z 3

Passo 3

b O campo elétrico no ponto P .

O campo elétrico pode ser definido através do potencial elétrico pela relação dada por:

E → = - ∇ → V

E → = - ∂ V ∂ x i ^ + ∂ V ∂ y j ^ + ∂ V ∂ z k ^

Como o campo depende exclusivamente de z :

E = - d V d z = - C 2 ϵ 0 d d z R 2 + z 2 3 / 2 3 - z 2 R 2 + z 2 1 / 2 + 2 3 z 3

Um detalhe mega importante é a derivada de z 3 ! A função módulo sempre retorna um valor positivo, mas a sua derivada não! Como para z < 0 , z 3 é decrescente, logo d ( z 3 ) / d z < 0 . Assim

d z 3 d z = 3 z z

E = - C 2 ϵ 0 3 2 R 2 + z 2 1 / 2 ( 2 z ) 3 - 2 z R 2 + z 2 1 / 2 - z 2 R 2 + z 2 - 1 / 2 1 2 ( 2 z ) + 2 z z

E = - C 2 ϵ 0 - z R 2 + z 2 1 2 - z 3 R 2 + z 2 + 2 z z

Dá pra juntar os dois primeiros termos

- z R 2 + z 2 1 2 - z 3 R 2 + z 2 = - z R 2 + z 2 - z 3 R 2 + z 2 = - z R 2 - 2 z 3 R 2 + z 2

Assim:

E = - C 2 ϵ 0 - z R 2 - 2 z 3 R 2 + z 2 + 2 z z

Jogando o sinal negativo para dentro dos colchetes, teremos:

E = C 2 ϵ 0 z R 2 - 2 z 3 R 2 + z 2 - 2 z z

Passo 4

c O valor do campo elétrico no limite R ≫ z .

Para R ≫ z o primeiro termo será dado por

z R 2 - 2 z 3 R 2 + z 2 = z R 2 - 2 z 2 R 2 + z 2 ≈ z R 2 R 2 = z R

Assim

E ≈ C 2 ϵ 0 z R - 2 z z = C z 2 ϵ 0 R - 2 z

E ≈ C z 2 ϵ 0 R

Passo 5

d O valor do potencial elétrico no limite z ≫ R .

Vamos olhar para o potencial

V = C 2 ϵ 0 R 2 + z 2 3 / 2 3 - z 2 R 2 + z 2 1 / 2 + 2 3 z 3

Pra facilitar a nossa vida vamos trabalhar com z > 0 , de forma que z = z .

V = C 2 ϵ 0 R 2 + z 2 3 / 2 3 - z 2 R 2 + z 2 1 2 + 2 3 z 3

Se fizermos z ≫ R direto vamos ter

V ≈ C 2 ϵ 0 z 3 3 - z 3 + 2 3 z 3 = 0

O que por um lado é bom que nos diz que o potencial vai pra 0 no infinito mas por outro é ruim por que não nos diz COMO! Pra isso temos que fazer uma expansão assintótica!

Como temos umas raízes o ideal é que possamos escrever cada uma delas na forma

1 + x n

Para podermos usar a expansão binomial (ou série de Taylor) para x ≪ 1

1 + x n ≈ 1 + n x

Como z ≫ R , o nosso parâmetro de expansão x será algo como R / z , que será ≪ 1 ! Assim podemos rescrever as raízes

R 2 + z 2 3 / 2 = z 3 1 + R z 2 3 / 2

Que, fazendo x = R / z 2 ≪ 1 teremos a seguinte expansão

R 2 + z 2 3 / 2 ≈ z 3 1 + 3 2 R z 2

E

R 2 + z 2 1 / 2 = z 1 + R z 2 1 / 2

Que, fazendo x = R / z 2 ≪ 1 teremos a seguinte expansão

R 2 + z 2 1 / 2 ≈ z 1 + 1 2 R z 2

Substituindo no potencial elétrico teremos

V = C 2 ϵ 0 R 2 + z 2 3 / 2 3 - z 2 R 2 + z 2 1 2 + 2 3 z 3

V ≈ C 2 ϵ 0 1 3 z 3 1 + 3 2 R z 2 - z 2 z 1 + 1 2 R z 2 + 2 3 z 3

V ≈ C 2 ϵ 0 z 3 3 + z 3 2 R z 2 - z 3 - z 3 2 R z 2 + 2 3 z 3

V ≈ 0

Que deu 0 .... Fazer o que agora??? Temos que pegar mais um termo na expansão :o

1 + x n ≈ 1 + n x + n n - 1 2 x 2

Não precisa fazer toda a conta de novo já que a gente sabe que os dois primeiros termos das expansões se anulam! Assim

R 2 + z 2 3 / 2 ≈ z 3 1 + 3 2 R z 2 + 3 2 3 2 - 1 2 R z 4

R 2 + z 2 3 / 2 ≈ z 3 1 + 3 2 R z 2 + 3 8 R z 4

Sendo que o cara que nos interessa é o terceiro!

Já a outra raiz

R 2 + z 2 1 2 ≈ z 1 + 1 2 R z 2 + 1 2 1 2 - 1 2 R z 4

R 2 + z 2 1 / 2 ≈ z 1 + 1 2 R z 2 - 1 8 R z 4

Aí agora sim partindo pro potencial

V = C 2 ϵ 0 R 2 + z 2 3 / 2 3 - z 2 R 2 + z 2 1 2 + 2 3 z 3

A gente sabe que só sobrevivem os terceiros termos das expansões das raízes, assim

V ≈ C 2 ϵ 0 1 3 3 z 3 8 R z 4 - - z 3 8 R z 4

V ≈ C 2 ϵ 0 z 3 8 R z 4 + z 3 8 R z 4 = C z 3 8 ϵ 0 R 4 z 4

Agora FINALMENTE!!!

V ≈   C R 4 8 ϵ 0 1 z

Resposta

a

V = C 2 ϵ 0 R 2 + z 2 3 / 2 3 - z 2 R 2 + z 2 1 / 2 + 2 3 z 3

b

E = C 2 ϵ 0 z R 2 - 2 z 3 R 2 + z 2 - 2 z z

c

E ≈ C z 2 ϵ 0 R

d

V ≈   C R 4 8 ϵ 0 1 z

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