Uma esfera de raio possui uma distribuição de carga não uniforme cuja densidade volumétrica é igual a , onde é uma constante positiva com dimensões: .
Calcule, utilizando explicitamente a Lei de Gauss:
O campo elétrico no ponto , a uma distância do centro da esfera.
O campo elétrico no ponto , a uma distância do centro da esfera.
A diferença de potencial entre os pontos e .
Suponha agora que uma carga puntiforme com massa e velocidade se desloque do infinito até o centro da esfera.
Calcule a distância mínima alcançada pela carga antes de ser repelida pela esfera.
(Sugestão: calcule o potencial da esfera numa distância genérica e utilize a conservação da energia).
Passo 1
O campo elétrico no ponto , a uma distância do centro da esfera.
Bom, como o corpo carregado se trata de uma esfera, vamos usar como gaussiana uma superfície esférica com raio .
Sendo assim, teremos o seguinte:
O que precisamos nos preocupar agora é com essa carga englobada pela gaussiana. Como a gaussiana está englobando toda a esfera, corresponderá à carga da esfera.
Passo 2
Para calcular a carga da esfera, vamos usar a densidade volumétrica de cargas dada pelo problema, se liga:
Onde:
Logo:
Show de bola! Agora é só substituir na expressão do campo elétrico e teremos o seguinte:
Onde .
Passo 3
O campo elétrico no ponto , a uma distância do centro da esfera.
A ideia é bem parecida com o que acabamos de fazer, e o campo elétrico será dado por:
O que muda agora é o limite de integração na hora de calcular a carga interna:
Onde:
Logo:
Quando substituirmos na expressão do campo elétrico, teremos:
Onde .
Passo 4
A diferença de potencial entre os pontos e .
Pra calcular essa diferença de potencial vamos utilizar a seguinte expressão:
Pra isso, basta saber como o campo elétrico se comporta entre os pontos e . Para isso, vamos dividir o nosso problema em duas regiões:
Essa região corresponde ao que calculamos na letra , logo:
Essa região corresponde ao que calculamos na letra , logo:
Passo 5
Só é importante ressaltar o seguinte! Na hora de calcular a integral na expressão da ddp, vamos utilizar sempre como ponto inicial o ponto mais distante, e como ponto final, o mais perto. Logo:
Agora é só resolver com calma:
Onde e .
Tirando o MMC dessa bagaça, teremos:
Passo 6
Calcule a distância mínima alcançada pela carga antes de ser repelida pela esfera.
(Sugestão: calcule o potencial da esfera numa distância genérica e utilize a conservação da energia).
Vamos seguir a sugestão do problema e começar calculando o potencial da esfera da uma distância qualquer.
Para isso, vamos utilizar a expressão da diferença de potencial, onde o nosso ponto inicial será o infinito (onde o potencial é nulo).
Dessa forma:
Onde:
Logo:
Passo 7
A ideia agora é a seguinte, a partícula de carga parte do infinito com energia puramente cinética e ela alcançará a distância mínima quando toda a sua energia for transformada em energia potencial.
Dessa forma, pela conservação de energia do sistema:
Substituindo a expressão do potencial:
Reorganizando os termos, teremos o seguinte:
Resposta