Lei de Gauss, Energia Potencial e Densidade de Energia, Potencial Elétrico
O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por , onde é uma constante não nula.
Deduza uma expressão para o campo elétrico na região.
Deduza o trabalho realizado pela força elétrica sobre uma partícula de carga , quando esta é deslocada do ponto até o ponto .
Seja agora uma região esférica, centrada na origem, de raio . Qual a carga no interior dessa superfície?
Obs.: você pode achar útil escrever o campo em coordenadas esféricas.
Passo 1
Deduza uma expressão para o campo elétrico na região.
Por definição, o campo elétrico pode ser calculador por:
Em coordenadas polares, podemos escrever o campo elétrico como:
Onde .
Passo 2
Deduza o trabalho realizado pela força elétrica sobre uma partícula de carga , quando esta é deslocada do ponto até o ponto .
Por definição, o trabalho é dado por:
Sabendo que , teremos:
Se a carga é deslocada do ponto até o ponto , então . Sendo assim:
Finalmente:
Passo 3
Seja agora uma região esférica, centrada na origem, de raio . Qual a carga no interior dessa superfície?
Pra calcularmos a carga no interior dessa superfície, vamos recorrer à lei de Gauss, que é dada por:
Como a gaussiana, nesse caso, é a esfera de raio , é mais jogo aqui usarmos a expressão do campo elétrico com coordenadas polares, dada por:
Nesse caso, , logo:
Assim, podemos dar uma simplificada na expressão da lei de Gauss, que vai ficar com essa cara:
Resposta