Uma carga positiva + q está localizada no ponto x = 0 e y = - a e uma carga negativa – q está localizada no ponto x = 0 e y = + a .

  1. Deduza uma relação para o potencial V em qualquer ponto sobre o eixo O y em função da coordenada y .
  2. Mostre que, quando y ≫ a , o potencial em qualquer ponto sobre a parte positiva do eixo O y é dado por
  3. V ≈ - 1 4 π ε 0 2 q a y 2     .

  4. Qual seria a resposta dos itens (b) e (c) se as cargas fossem trocadas de posição, ou seja, se + q fosse localizada em y = + a e – q em y = - a ?

Passo 1

a) A situação que a gente tem aqui está representada na Figura abaixo. Como o potencial depende das cargas e da distância delas até o ponto P que está na posição y , vamos utilizar as distâncias y + a e y - a indicadas.

Portanto, o potencial total gerado pelas cargas no ponto P é

V y = 1 4 π ε 0 q y + a + 1 4 π ε 0 ( - q ) y - a     .

Quando simplificamos essa expressão, temos o seguinte:

V y = 1 4 π ε 0 - 2 q a y 2 - a 2   .

Passo 2

b) Se y ≫ a , temos também que

y 2 ≫ a 2     .

Com isso, o potencial é simplificado para

V y ≈ - 2 q a 4 π ε 0 y 2   .

Essa expressão dá o potencial gerado pelo dipolo elétrico de módulo p → = 2 q a no ponto P , que está a uma distância y ≫ a .

Passo 3

c) Se a gente troca as cargas de posição, o potencial nessa nova situação é

V y = 1 4 π ε 0 - q y + a + 1 4 π ε 0 + q y - a = q 4 π ε 0 - y + a + y + a y 2 - a 2     .

Simplificando um pouco mais essa expressão,

V y = 2 q a 4 π ε 0 y 2 - a 2     ,

o que mostra que a inversão das cargas apenas muda o sinal do potencial.

Portanto, para y ≫ a

V y ≈ 2 q a 4 π ε 0 y 2     .

Resposta

  1. V y = 1 4 π ε 0 - 2 q a y 2 - a 2     ;
  2. V y ≈ - 2 q a 4 π ε 0 y 2     ;
  3. V y ≈ 2 q a 4 π ε 0 y 2     .

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