O potencial elétrico devido a uma esfera carregada de raio a é

V x ,   y ,   z = V 0 a r ,     s e   r ≥ a 2 V 0 - V 0 r a ,     s e   r < a

onde V 0 > 0 é constante e r = x 2 + y 2 + z 2 é a distância ao centro da esfera.

a ) Determine o campo elétrico E → para r > a e r < a .

b ) Determine a carga total Q da esfera.

c ) Calcule o fluxo através da face superior do cubo de lados L > a mostrado na figura que tem três arestas ao longo dos eixos x ,   y e z . Expresse o resultado em termos da carga total Q da esfera e de ϵ 0 .

Passo 1

-

a ) Determine o campo elétrico E → para r > a e r < a .

Por definição, podemos associar o campo elétrico com o potencial por:

E → = - d V d r r ^

Então só temos que aplicar isso para os dois casos:

  • r ≥ a
  • E → = - d d r V 0 a r r ^

    E → = V 0 a r 2 r ^

  • r < a
  • E → = - d d r 2 V 0 - V 0 r a r ^

    E → = V 0 a r ^

    Passo 2

    b ) Determine a carga total Q da esfera.

    Podemos usar a Lei de Gauss pra associar a carga total Q com o campo elétrico E → que nós já calculamos:

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Como estamos falando de uma esfera, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

    E A = Q i n t ϵ 0

    Já que pretendemos calcular a carga da esfera, a nossa gaussiana deve ter um raio r ≥ a para que englobe toda a esfera. Logo:

    V 0 a r 2 4 π r 2 = Q ϵ 0

    Agora é só dar uma organizada:

    Q = 4 π ϵ 0 V 0 a

    Passo 3

    c ) Calcule o fluxo através da face superior do cubo de lados L > a mostrado na figura que tem três arestas ao longo dos eixos x ,   y e z . Expresse o resultado em termos da carga total Q da esfera e de ϵ 0 .

    Por definição, o fluxo de campo elétrico é dado por:

    Φ E = ∯ G   E → ∙ d A →

    E podemos associar o fluxo no cubo diretamente com a Lei de Gauss:

    ∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Logo:

    Φ c u b o = Q i n t ϵ 0

    Assim, temos agora que descobrir a carga englobada pelo cubo.

    Como o a esfera de carga Q e raio a está localizada na origem do sistema de coordenadas, o cubo vai englobar 1/8 do volume da esfera, logo:

    Q i n t = Q 8

    Φ c u b o = Q 8 ϵ 0 → Φ c u b o = Q 8 ϵ 0

    Só que o problema está pedindo o fluxo no na face superior do cubo. Mas, como o campo elétrico é radial, apenas haverá fluxo elétrico na face superior, na face da direita e na face frontal do cubo... as linhas de campo elétrico não atravessarão as faces dos planos x = 0 , y = 0 e z = 0 .

    Logo, como o fluxo elétrico passa apenas por 3 faces, o fluxo na face superior do cubo será:

    Φ s u p e r i o r = Φ c u b o 3

    Φ s u p e r i o r = Q 8 ϵ 0 3

    Φ s u p e r i o r = Q 24 ϵ 0

    Resposta

    a )

  • r ≥ a
  • E → = V 0 a r 2 r ^

  • r < a

E → = V 0 a r ^

b )

Q = 4 π ϵ 0 V 0 a

c )

Φ s u p e r i o r = Q 24 ϵ 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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