Uma distribuição de cargas com densidade linear constante λ > 0 está localizada ao longo do eixo y no intervalo - ∞ < y ≤ 0 conforme a figura.

a ) Calcule o vetor campo elétrico num ponto qualquer do eixo x com coordenada x > 0 .

b ) Adotando-se potencial nulo no ponto A do eixo x com x = a > 0 , calcule o potencial elétrico num ponto do eixo x com coordenada x > 0 .

c ) Determine o trabalho que deve ser realizado para levar uma carga q do ponto A do eixo x em x = a > 0 ao ponto D do eixo x em x = 2 > 0 segundo a trajetória A B C D mostrada na figura.

Passo 1

a ) Calcule o vetor campo elétrico num ponto qualquer do eixo x com coordenada x > 0 .

A boa aqui é sempre partir de um pedaço infinitesimal de carga d q pra começar a análise do problema. Esse pedaço infinitesimal de carga d q vai gerar um campo elétrico d E → , dado por:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2   r ^

Por definição:

r ^ = r → r

Logo:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 3   r →

Graficamente, a ideia é essa:

Sendo assim, podemos tirar algumas conclusões aqui:

λ = d q d y → d q = λ d y

O vetor r → é dado pela subtração vetorial do ponto onde queremos calcular o campo ( x , 0 ) com o ponto onde tá a nossa fonte de campo ( 0 , y ) , ou seja

r → = x , 0 - ( 0 , y )

r → = x i → - y j →

r = x 2 + y 2

- ∞ < y ≤ 0

Substituindo isso na expressão para o campo elétrico:

E → = λ 4 π ϵ 0   ∫ - ∞ 0 x i → - y j → x 2 + y 2 3 / 2 d y

Esse é o momento que você se dá conta das integrais que vai ter que resolver pra acabar o problema, começa a suar frio, a garganta fica seca e tal... eu sei como é a sensação!

Mas relaxa! Essas integrais vivem aparecendo em problemas desse tipo, e a solução delas geralmente já estão até nos formulários, então antes de se desesperar, dá uma olhada lá! É provável que a resposta da integral esteja por lá mesmo.

Passo 2

As integrais são essas daqui:

x ∫ - ∞ 0 1 x 2 + y 2 3 / 2   d y = x y x 2 x 2 + y 2 - ∞ 0 = y x x 2 + y 2 - ∞ 0 = 1 x

∫ - ∞ 0 y x 2 + y 2 3 / 2   d y = - 1 x 2 + y 2 - ∞ 0 = - 1 x

Substituindo de volta:

E → = λ 4 π ϵ 0 x   i → + j →

Passo 3

b ) Adotando-se potencial nulo no ponto A do eixo x com x = a > 0 , calcule o potencial elétrico num ponto do eixo x com coordenada x > 0 .

A partir da definição de potencial elétrico:

V = - ∫ E → ∙ d l →

Como estamos analisando o potencial apenas sobreo eixo x , d l → = d x   i → . Logo:

V x = - ∫ a x λ 4 π ϵ 0 x   i → + j → ∙ d x i → = - λ 4 π ϵ 0 ∫ a x d x x

V x = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ x a

Passo 4

c ) Determine o trabalho que deve ser realizado para levar uma carga q do ponto A do eixo x em x = a > 0 ao ponto D do eixo x em x = 2 > 0 segundo a trajetória A B C D mostrada na figura.

O trabalho, por definição, independe da trajetória. Então não tem a menor necessidade de você se matar aí fazendo conta, basta calcular o trabalho entre os pontos A e D .

W A → D = q V D - V A

Onde:

V D = V 2 a = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ 2 a a = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ 2

V A = V a = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ a a = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ 1 = 0

Portanto:

W A → D = - λ q 4 π ϵ 0 ln ⁡ 2

Resposta

a )

E → = λ 4 π ϵ 0 x   i → + j →

b )

V x = - λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ x a

c )

W A → D = - λ q 4 π ϵ 0 ln ⁡ 2

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