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Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Carga Pontual

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Enunciado

Potencial Elétrico, Lei de Gauss

Numa certa região do espaço existe um potencial elétrico dado por:

V r = α a 4 4 r   p a r a   r > a α 12 4 a 3 - r 3   p a r a   r ≤ a

onde r é a distância até a origem do sistema de coordenadas e α e a são constantes.

a ) Quais são as unidades das constantes α e a no Sistema Internacional de Unidades?

b ) Obtenha o vetor campo elétrico nesta região do espaço.

c ) Quanta carga existe dentro de uma esfera (imaginária) de raio a / 2   centrada na origem?

Passo 1

a ) Quais são as unidades das constantes α e a no Sistema Internacional de Unidades?

Bom, independente das unidades de medida... as duas equações precisam ter unidade de V o l t s , concordam?

Pois bem, olhando logo de cara a segunda equação vemos que tem a subtração 4 a 3 - r 3 . Nós só podemos somar ou subtrair coisas que possuam as mesmas unidades de medida. Assim, como r 3 = m 3 :

a 3 = m 3

a = m

Opa! Já sabemos que a constante a já possui unidade de metro.

Agora podemos partir para a primeira equação para analisar a unidade de α .

V = α m 4 m

α = V m 3

Passo 2

-

b ) Obtenha o vetor campo elétrico nesta região do espaço.

Como o potencial é definido a partir da coordenada radial r , o vetor campo elétrico também vai estar na direção radial E → = E r r ^

O campo elétrico é, por definição, dado por:

E r = - d V r d r

  • r > a

    • V r = α a 4 4 r

    E → r = - d d r α a 4 4 r r ^

    E → r = α a 4 4 r 2   r ^

  • r ≤ a

    • V r = α 12 4 a 3 - r 3

    E → r = - d d r α 12 4 a 3 - r 3 r ^

    E → r = α r 2 4   r ^

    Passo 3

    c ) Quanta carga existe dentro de uma esfera (imaginária) de raio a / 2   centrada na origem?

    Quando ele fala de “esfera imaginária” e te pede pra calcular a carga interna a essa região, no fundo, ela está implorando pra você usar a Lei de Gauss:

    ∫ S E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Por causa da simetria esférica da nossa gaussiana, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

    E a / 2 4 π a 2 2 = Q i n t ϵ 0

    A região englobada pela esfera de raio r = a / 2 corresponde à região em que r ≤ a .

    E r = α r 2 4

    E a / 2 = α a 2 16

    Substituindo na Lei de Gauss:

    α a 2 16 4 π a 2 4 = Q i n t ϵ 0

    Q i n t = π ϵ 0 α a 4 16

    Resposta

    a )

    a = m

    α = V m 3

    b )

  • r > a

    • E → r = α a 4 4 r 2   r ^

  • r ≤ a

E → r = α r 2 4   r ^

c )

Q i n t = π ϵ 0 α a 4 16

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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