- Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto indicado.
i. e
Passo 1
Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , , usando a definição.
Para quem lembra o calculo é esse:
Agora vamos aplicar para calcular o nosso .
Passo 2
O enunciado nos forneceu quem são e . Substituindo na definição, ficamos com
Como ,
Se aplicarmos nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo . Olha só:
Então bora sair dessa indeterminação!
Passo 3
Temos o seguinte limte:
Pelo limite fundamental trigonométrico, temos aqui
Mas repara que o nosso limite e não a zero. Então, vamos usar uma mudança de variável.
Fazendo,
Temos que se ,
Com isso, ficamos com esse limite:
Repara que agora o nosso seno é mais (que representa meia volta no círculo trigonométrico).
A função seno quando dá meia volta, muda de sinal. Logo,
Juntando tudo,
Logo,