1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x_0 indicado.

i. f(x) = sen(x) e x₀ = pi

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' π = lim x → π ⁡ sin ⁡ x - sin ⁡ π x - π

Como sin ⁡ 0 = 0 ,

f ' π = lim x → π ⁡ sin ⁡ x x - π

Se aplicarmos π nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' π = lim x → π ⁡ sin ⁡ x x - π = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → π ⁡ sin ⁡ x x - π

Pelo limite fundamental trigonométrico, temos aqui

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = 1

Mas repara que o nosso limite x → π e não a zero. Então, vamos usar uma mudança de variável.

Fazendo,

u = x - π

Temos que se x → π ,

u → 0

Com isso, ficamos com esse limite:

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u + π u

Repara que agora o nosso seno é u mais π (que representa meia volta no círculo trigonométrico).

A função seno quando dá meia volta, muda de sinal. Logo,

lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u + π u = - lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u

Juntando tudo,

lim x → π ⁡ sin ⁡ x x - π = - lim u → 0 ⁡ sin ⁡ u u = - 1 = - 1

Logo,

f ' π = - 1

Resposta

- 1

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