Suponha que para todo . Considere as seguintes afirmações:
- é contínua em .
- é diferenciável em .
- .
É verdadeira ou são verdadeiras:
- Todas as três afirmativas.
- Somente a afirmativa (II).
- Somente a afirmativa (I).
- Nenhuma das afirmativas.
- As afirmativas (I) e (II).
Passo 1
Inicialmente pode parecer que uma coisa não tem nada a ver com a outra, mas calma. Vamos ver que tem sim. Vamos analisar afirmação por afirmação.
Para a afirmação (I), temos que é contínua em , para tal, precisamos que:
Para calcular o limite, vamos analisar a inequação , que tirando o módulo fica:
Já que saindo o módulo, temos que considerar também a parte negativa. Ok, como essa inequação é válida para todo , para , temos que:
Logo, a única possibilidade é . Portanto, precisamos que:
Para calcular esse limite, aplicamos o limite na inequação sem o módulo:
O que implica em:
E, pelo teorema do confronto:
Dessa maneira, a função é contínua e a afirmação (I) é verdadeira!
Passo 2
Vamos analisar a segunda afirmação agora. Para que seja verdade, precisamos que:
Exista e seja finito. Podemos chegar nesse limite através da inequação dividindo tudo por :
Logo, temos que:
E, pelo teorema do confronto novamente:
Logo, o limite existe e é finito, logo a função é diferenciável e a afirmação (II) está correta.
Passo 3
Finalmente, vamos analisar a afirmação (III). Pela definição de derivada:
Vimos no passo anterior que:
Logo:
E a afirmação é também correta. Como está tudo certo, a alternativa correta é a letra (a).
Resposta
Alternativa (a).