1) Sejam f e g duas funções tais que f(13) = 7 , f'(13) = 4 , g(13) = -1 e 0 < g'(13) < 10 . Sejam u e v funções definidas por u(x) = f(x) g(x) , v(x) = f(x) / g(x) .

É correto afirmar que

Escolha uma:

a) u' (13) * v' (13) > 16

b) u' (13) < v' (13)

c) v' (13) < -4

d) u' (13) < - 4

e) v' (13) < - 74

Passo 1

Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!

Esse é um exercício bem analítico, onde percebemos que precisamos calcular as derivadas u ' e v ' para checarmos as alternativas.

Então vamos fazer isso! Começando por u ' :

Como em u temos o produto entre f ( x ) e g ( x ) , usaremos a regra do produto:

u ' = f ' * g + f * g '

Aplicando os números dados pelo enunciado:

u ' 13 = 4 * - 1 + 7 * g '

u ' 13 = 7 g ' - 4

Você já deve ter percebido que temos um intervalo possível para g ' . É justamente esse intervalo que precisaremos analisar após encontrar v ' , portanto deixaremos g ' como uma variável.

Passo 2

Como em v temos o quociente entre f ( x ) e g ( x ) , usaremos a regra do quociente:

v ' = f ' * g - f * g ' g 2

v ' = 4 * - 1 - 7 * g ' - 1 2

v ' = - 7 g ' - 4

Passo 3

Vamos a partir desse passo avaliar as alternativas.

Na alternativa a), temos que o produto entre as derivadas será maior que 16 em qualquer caso.

Então consideraremos g ' = 1 :

u ' = 7 * 1 - 4 = 3

v ' = - 7 * 1 - 4 = - 11

Realizando o produto:

u ' * v ' = 3 * - 11 = - 33

Esse número é menor que 16 , portanto a alternativa é falsa.

Passo 4

Avaliando o item b). A derivada u ' será sempre menor que de v ' , para qualquer g ' .

Já vimos no passo 3 que com g ' = 1 , u ' > v ' . Então essa alternativa é falsa.

Vamos para o item c). Aqui precisamos verificar se v ' é sempre menor que - 4 .

Sabemos que:

v ' 13 = - 7 g ' - 4

Mas, lembra também que g ' é sempre positivo, pois 0 < g ' < 10 .

Assim, o maior valor que v ' ( 13 ) pode assumir é justamente quando - 7 g ' é máximo. Isso ocorre pro menor valor possível de g ' .

O menor valor possível de g ' é algo muito próximo de zero, tipo 0,000001 . Se testarmos para g ' = 0 , teríamos:

v ' 13 =   - 7 ⋅ 0 - 4 =   - 4

Maaaas, g ' > 0 , logo:

v ' ( 13 ) <   - 4

Essa é a alternativa certa!

Ufa! Terminamos!

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

c) v ' 13 < - 4

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