UFMG; Cálculo 1; Prova 2 – 2020.1; Exercício 1
1) Sejam e duas funções tais que , , e . Sejam e funções definidas por , .
É correto afirmar que
Escolha uma:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Faaaaala, galerinha! Tudo certinho com vocês? Bora lá resolver mais uma questão!!
Esse é um exercício bem analítico, onde percebemos que precisamos calcular as derivadas e para checarmos as alternativas.
Então vamos fazer isso! Começando por :
Como em temos o produto entre e , usaremos a regra do produto:
Aplicando os números dados pelo enunciado:
Você já deve ter percebido que temos um intervalo possível para . É justamente esse intervalo que precisaremos analisar após encontrar , portanto deixaremos como uma variável.
Passo 2
Como em temos o quociente entre e , usaremos a regra do quociente:
Passo 3
Vamos a partir desse passo avaliar as alternativas.
Na alternativa a), temos que o produto entre as derivadas será maior que em qualquer caso.
Então consideraremos :
Realizando o produto:
Esse número é menor que , portanto a alternativa é falsa.
Passo 4
Avaliando o item b). A derivada será sempre menor que de , para qualquer .
Já vimos no passo 3 que com , . Então essa alternativa é falsa.
Vamos para o item c). Aqui precisamos verificar se é sempre menor que .
Sabemos que:
Mas, lembra também que é sempre positivo, pois .
Assim, o maior valor que pode assumir é justamente quando é máximo. Isso ocorre pro menor valor possível de .
O menor valor possível de é algo muito próximo de zero, tipo . Se testarmos para , teríamos:
Maaaas, , logo:
Essa é a alternativa certa!
Ufa! Terminamos!
Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?
Resposta
c)