Em cada um dos itens abaixo, encontre a derivada da função usando a definição

(e) f(x) = 1 / (x + 1)

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que encontrar a derivada usando a definição da função

  f ( x ) = 1 x + 1

para isso vamos ter que calcular o seguinte limite:

d d x f ( x ) = l i m Δ x → 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x

Vem comigo!

Passo 2

Primeiro vamos substituir a função em

l i m Δ x → 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x = l i m Δ x → 0 ( 1 x + Δ x + 1 ) - ( 1 x + 1 ) Δ x

em seguida fazer algumas manipulações antes de tomar o limite

l i m Δ x → 0 ( 1 x + Δ x + 1 ) - ( 1 x + 1 ) Δ x = l i m Δ x → 0 1 Δ x ( x + 1 - x - Δ x - 1 ( x + Δ x + 1 ) ( x + 1 ) ) = l i m Δ x → 0 1 Δ x ( - Δ x ( x + 1 ) 2 + Δ x ( x + 1 ) )

temos então que

l i m Δ x → 0 1 Δ x ( - Δ x ( x + 1 ) 2 + Δ x ( x + 1 ) ) =

tomando o limite

l i m Δ x → 0 - 1 ( x + 1 ) 2 + Δ x ( x + 1 ) = - 1 ( x + 1 ) 2

Assim,

d d x f ( x ) = l i m Δ x → 0 f ( x + Δ x ) - f ( x ) Δ x = l i m Δ x → 0 ( 1 x + Δ x + 1 ) - ( 1 x + 1 ) Δ x = - 1 ( x + 1 ) 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

d d x ( 1 x + 1 ) = l i m Δ x → 0 ( 1 x + Δ x + 1 ) - ( 1 x + 1 ) Δ x = - 1 ( x + 1 ) 2

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