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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UFCG; Cálculo 1; Lista-2; Derivadas; questão 1j

Use a definição derivada para calcular a derivada de cada uma das funções no

ponto indicado:

f ( x ) = 1 x 2 - 3 x

no ponto x = 2

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Cálculo 1. Nosso objetivo é o valor da derivadas da função f no ponto x = 2 . Mas temos que calcular usando a definição de derivada. Lembram qual é a definição?

A derivada de uma função f é definida como:

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h

Ou seja, para calcularmos a derivada da nossa f no ponto x = 2 , precisamos calcular

f ' ( 2 ) = l i m h → 0 f ( 2 + h ) - f ( 2 ) h

Passo 2

Queremos encontrar a derivada de f no ponto x = 2 . A nossa f é a função abaixo.

f ( x ) = 1 x 2 - 3 x

Então temos que

f ' ( 2 ) = l i m h → 0 f ( 2 + h ) - f ( 2 ) h

substituindo f

= l i m h → 0 1 ( 2 + h ) 2 - 3 ( 2 + h ) - 1 4 - 6 h

= l i m h → 0 1 ( 2 + h ) 2 - 3 ( 2 + h ) + 1 2 h

Fazendo MMC, temos:

= l i m h → 0 ( 2 + h ) 2 - 3 ( 2 + h ) + 2 2 ( ( 2 + h ) 2 - 3 ( 2 + h ) ) h

Abrindo o produto notável, temos:

= l i m h → 0 4 + 4 h + h 2   - 6   - 3 h + 2 2 ( ( 2 + h ) 2 - 3 ( 2 + h ) ) h

= l i m h → 0 h + h 2 2 ( ( 2 + h ) 2 - 3 ( 2 + h ) ) h

= l i m h → 0 1 + h 2 ( ( 2 + h ) 2 - 3 ( 2 + h ) )

= 1 2 ( ( 2 + 0 ) 2 - 3 ( 2 + 0 ) )

= 1 - 4

Ou seja, a derivada da nossa função f no ponto x = 2 é:

f ' ( 2 ) = l i m h → 0 f ( 2 + h ) - f ( 2 ) h

= - 1 / 4

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

- 1 / 4

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