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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

  1. Quando uma função f : R → R é derivável no ponto p = 0 ?

    2. Dê a definição

  2. Usando a definição dada no item a , calcule a derivada da função

y = f x = 1 x + 1

No ponto p = 0 .

Passo 1

a )

Para uma função f ser derivável em um ponto, mas especificamente no ponto p = 0 , ela deve primeiro ser contínua nesse ponto.

Segundo, se então essa função for contínua no ponto zero e o limite

f ' p = lim Δ x → 0 ⁡ f p + Δ x - f p Δ x       →

f ' 0 = lim Δ x → 0 ⁡ f Δ x - f 0 Δ x

E esse limite existir, então a função é derivável no ponto p = 0

Passo 2

b )

Vamos na definição para achar essa derivada f ' 0 :

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Agora temos que aplicar x + Δ x e x na função f x , assim como temos no numerador da definição f x + Δ x - f x :

lim Δ x → 0 ⁡ 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x

Vamos juntar as duas frações do numerador:

= lim Δ x → 0 ⁡ 1 x + Δ x + 1 - 1 x + 1 Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + 1 - x + Δ x + 1 x + Δ x + 1 ) x + 1 Δ x

= lim Δ x → 0 ⁡ x + 1 - x + Δ x + 1 Δ x x + Δ x + 1 x + 1

Passo 3

Vamos aplicar x = 0 agora:

lim Δ x → 0 ⁡ 0 + 1 - 0 + Δ x + 1 Δ x 0 + Δ x + 1 0 + 1

= lim Δ x → 0 ⁡ 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 1

Pra facilitar na notação, vou trocar o Δ x por y :

lim Δ x → 0 ⁡ 1 - Δ x + 1 Δ x Δ x + 1 = lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1

Passo 4

Substituindo o limite teremos uma indeterminação de 0 / 0 :

lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 = 1 - 1 0 1 = 0 0

Então vamos completar o conjugado no termo de cima. Assim, multiplicamos em cima e embaixo por ( 1 + y + 1 )   no limite:

lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 = lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 y y + 1 1 + y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 - y + 1 1 + y + 1 y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 2 - y + 1 2 y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡ 1 - ( y + 1 ) y y + 1 1 + y + 1

= lim y → 0 ⁡       - y y y + 1 1 + y + 1

Corta o y de cima com o debaixo:

  =     lim y → 0 ⁡ - 1 y + 1 1 + y + 1

Passo 5

Agora basta substituir o limite:

lim y → 0 ⁡ - 1 y + 1 1 + y + 1

= - 1 0 + 1 1 + 0 + 1

= - 1 1 1 + 1

= - 1 2

Concluímos que a derivada desse cara nesse ponto p para p = x = 0 será:

f ' 0 = - 1 2

Resposta

a )     f   c o n t í n u a   e   o   l i m i t e   f ' 0 = lim Δ x → 0 ⁡ f Δ x - f 0 Δ x   e x i s t e .

b )   f ' 0 = - 1 2

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