Determine a equação da reta tangente a cada curva no ponto p indicado:

a) x * y + y^2 = 2 em p = (1,1)

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma equação e nos pede a equação da reta tangente da curva em um ponto indicado (quando ler “reta tangente em um ponto” já pensa na derivada hehe).

Bom... lembra como determina a equação de uma reta? Bora relembrar olhando a figura abaixo:

Primeiro, com a posição dos pontos A e B , a gente encontra a inclinação da reta α através da relação α = Δ y Δ x = y b - y a x b - x a .

Depois, aplicamos na equação da reta y = a x + b e descobrimos os valores de a e b !!

Mas como fazemos isso para um só ponto??? Bom, ao invés de fazer α = Δ y Δ x , a gente faz α = d y d x (pois estamos tendendo a zero a distância do ponto B ao ponto A ) e aplicamos em y b - y a x b - x a = α !!!

Não entendeu? Então bora junto descobrir!! 😉

Passo 2

Seguinte... vamos primeiramente derivar os dois lados da igualdade:

d x y + y 2 d x = d 2 d x ∴

Do lado esquerdo aplicamos a regra da cadeia, em que d y d x = d y d u ∙ d u d x e, do lado direito, vemos que a derivada de uma constante é zero. Assim, temos:

y + x d y d x + 2 y d y d x = 0 ∴

y + x + 2 y d y d x = 0 ∴

d y d x = - y x + 2 y  

Passo 3

Dessa forma, substituindo o ponto p = ( 1,1 ) na derivada encontrada, temos:

d y d x = - 1 1 + 2 1 ∴

d y d x = - 1 3

E, aplicando na equação da reta y b - y a x b - x a = d y d x , temos:

y - 1 = - 1 3 x - 1 ∴

y = - x 3 + 4 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

y = - x 3 + 4 3

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