UFES, 2018.1, Lista 6, Q05
05) Seja é diferenciável em é contínua em ?
Passo 1
Eaí pessoal, tudo certinho?
Esse exercício é bem direto, ele nos dá uma função definida por partes e nos pede para verificar se é diferenciável e se é contínua no ponto .
Bom, para respondermos isso precisamos lembrar que uma função diferenciável em um ponto possui o seguinte limite como existente e finito:
Para que esse limite exista, os limites laterais precisam também ser iguais, ou seja:
Beleza, se isso for verdade então a gente já pode dizer que a função é diferenciável, aí já matamos metade da questão!
Pra responder a segunda parte, caso ela seja diferenciável, podemos, logo de cara, afirmar que ela também será contínua (isso é o que afirma um teorema bem importante que não pode esquecer).
Agora se ela não for diferenciável, vamos precisar recorrer aos nossos limites laterais para testar se a função vai ser contínua ou não.
Bom, chega de enrolação e vamos pras continhas 😊
Passo 2
Vamos começar verificando a diferenciabilidade. Então:
Mas:
Então:
Massa, agora vamos calcular o outro limite lateral:
Beleza, pra resolver esse limite vamos lembrar daquele produto notável que usamos direto, a diferença de quadrados:
Quando substituirmos esse resultado no limite, vamos ter que:
Mas:
Então:
Isso é ótimo, porque conseguimos eliminar o termo que estava trazendo indeterminação. Fazendo então , ficamos com:
Opa, encontramos o mesmo resultado em ambos os limites laterais. Logo, podemos afirmar que é diferenciável em .
Passo 3
Olha que top! Como já sabemos que é diferenciável em , pelo teorema, podemos afirmar que é também contínua em .
Aqui só fica um alerta pra gente ter cuidado ao usar esse teorema, diferenciabilidade implica continuidade, mas continuidade não implica, necessariamente, diferenciabilidade!
Resposta
Sim, é diferenciável e contínua em .