Para cada uma das seguintes funçōes, calcule pela definição a sua função derivada:

h) v ( x ) = 2 x - x

Passo 1

Vamos calcular a derivada da função v ( x ) = 2 x - x usando a definição de derivada. A derivada de uma função v ( x ) em relação a x , denotada por v ' ( x ) ou d v d x , é definida pela seguinte expressão:

v ' ( x ) = l i m h → 0   v ( x + h ) - v ( x ) h

V a m o s   a p l i c a r   e s s a   d e f i n i ç ã o   à   f u n ç ã o   v ( x ) = 2 x - x   :

v ' ( x ) = l i m h → 0   v ( x + h ) - v ( x ) h

= l i m h → 0   2 x + h - x + h - 2 x - x h

Passo 2

Multiplicaremos o numerador e o denominador da fração por ( x + h - x + h ) ( x - x ) para eliminar o radical no denominador:

= l i m h → 0   2 ( x + h - x + h ) ( x - x ) - 2 ( x + h - x + h ) ( x + x ) h ⋅ ( x + h - x + h ) ( x - x )

S i m p l i f i c a n d o   o   n u m e r a d o r :

= l i m h → 0   2 x 2 - 2 x ( x + h ) - 2 h x + h ( x - x ) - 2 x 2 - 2 h x + h ( x + x ) h ⋅ ( x + h - x + h ) ( x - x )

= l i m h → 0   - 2 x h - 2 h x + h ( x - x ) - 2 h x + h ( x + x ) h ⋅ ( x + h - x + h ) ( x - x )

= l i m h → 0   - 2 h ( x + x ) - 2 h x + h ( x - x ) - 2 h x + h ( x + x ) h ⋅ ( x + h - x + h ) ( x - x )

= l i m h → 0   - 2 h ( x + x ) - 4 h x + h ( x + x ) h ⋅ ( x + h - x + h ) ( x - x )

= l i m h → 0   - 2 ( x + x ) - 4 x + h ( x + x ) ( x + h - x + h ) ( x - x )

Passo 3

A g o r a ,   s u b s t i t u i n d o   h = 0   n o   l i m i t e :

v ' ( x ) = - 2 ( x + x ) - 4 x ( x + x ) ( x - x ) ( x - x )

= - 2 x - 2 x - 4 x - 4 x ( x - x ) 2

= - 6 x - 2 x ( x - x ) 2

Portanto, a derivada da função v ( x ) = 2 x - x em relação a x é v ' ( x ) = - 6 x - 2 x ( x - x ) 2 . Isso significa que a taxa de variação instantânea da função v ( x ) em qualquer ponto é - 6 x - 2 x ( x - x ) 2 .

Resposta

significa que a taxa de variação instantânea da função v ( x ) em qualquer ponto é - 6 x - 2 x ( x - x ) 2 .

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