Considere a função definida por:
(b) Use a definição de derivada para mostrar que não é derivável em
Passo 1
Opa, bora começar então! A questão pede pra gente usar a definição de derivada, não é mesmo? Po, já que é assim, um bom primeiro passo é enunciar a definição:
Beleeeza maaas, e agora? Bem, pra uma derivada em um ponto qualquer existir, esse limite tem que existir, não é mesmo? Então ele não pode dar nenhum dos infinitos ou um resultado inconclusivo. Como queremos pra , fazemos:
Agora é só a gente substituir e pra ver a cara dessa função! Vamos começar com :
O limite fica então:
Passo 2
Show de bola, agora vamos definir . Usando a mesma lei de formação da outra vez vamos ter:
Substituindo no limite, temos:
Usando a propriedade dos limites como acima, da pra fazer uma constante aparecer aí em! Da uma olhada:
E agora sobrou outro limite pra gente se preocupar. Dando uma manipulada aí, chegamos ao seguinte resultado:
E taí a nossa prova de que não existe derivada nesse ponto! Esse limite vai dar um dos infinitos!
E prontinho! Como esse limite não existe, a função não possuí derivada nesse ponto!
Resposta
não possúi derivada em porque, pela definição de derivada, o limite abaixo não existe: