Questão 4:
Use a definição precisa de derivada (via limite) e prove que se então .
Passo 1
É para provar usando a definição de derivada. Bem, essa definição é esse limite aqui:
Onde é o ponto que estamos querendo a derivada. Esse ponto no caos é o ...
O , nos temos...
O ...
Então o nosso limite fica assim:
Bora calcula-lo? ;)
Passo 2
Cara, em todo limite aonde o vai para um número, é sempre aconselhável substituir esse número primeiro e ver o que acontece:
Opa! não é , heim! Isso é uma indeterminação, e para calcularmos, precisamos encontrar uma fora de cortar algum . Como temos raiz lá em cima, podemos pensar em multiplicar pelo conjugado para tentar elimina-la (como no processo reverso da racionalização):
Epa! em cima e em baixo... Podemos fazer o que queríamos, ou seja, cortar algum ...
Substituindo agora...
Então...