01) Use a definição de derivada de uma função para calcular f ' x 0 e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto ( x 0 ,   f x 0 ) .

f x =   x 2 + 4   ,     x 0 = 5

Passo 1

Faaala galerinha!! Tudo certo com vocês?

Essa questão nos pede duas coisas:

1) Determinar a derivada da função em um ponto usando a definição de derivada;

2) Determinar a reta que é tangente ao gráfico de f no mesmo ponto.

Bom, vamos por partes.

Pra calcular a derivada de f usando a definição precisamos calcular o seguinte limite:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x

Beleza! Já para calcular a tangente do gráfico em um certo ponto, precisamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto x 0 é justamente o coeficiente angular da reta tangente a esse ponto.

Passo 2

Então, mãos à obra!!

Queremos calcular:

f ' x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x - f x Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x 2 + 4   -     x 2 + 4 Δ x

Aqui é bem importante lembrar que a nossa variável do limite é Δ x , ele que está tendendo a zero.

Bom, essas contas com raízes são bem complicadinhas porque não conseguimos juntar elas, então vamos usar o produto notável da diferença de quadrados em um processo inverso ao da racionalização.

Multiplicando em cima e em baixo por:

x + Δ x 2 + 4   +   x 2 + 4 x + Δ x 2 + 4   +     x 2 + 4

Manipulando só a expressão de dentro do limite, ficamos com:

x + Δ x 2 + 4   -     x 2 + 4 Δ x = x + Δ x 2 + 4   -     x 2 + 4 Δ x ⋅ x + Δ x 2 + 4 +     x 2 + 4 x + Δ x 2 + 4   +     x 2 + 4

Lembrando do produto notável da diferença de quadrados:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Temos que:

x + Δ x 2 + 4   -     x 2 + 4 ⋅ x + Δ x 2 + 4 +     x 2 + 4 = x + Δ x 2 + 4   - x 2 + 4  

Abrindo esses quadrados vem:

x + Δ x 2 + 4   - x 2 + 4 = ( x 2 + 2 x Δ x + Δ x 2 + 4 - x 2 - 4 = 2 x Δ x + Δ x 2

Top! Esse resultado é bem legal, porque quando a gente substituir de volta no nosso limite, vamos conseguir cancelar o Δ x do denominador (que é quem está causando indeterminação no nosso limite).

lim Δ x → 0 ⁡ x + Δ x 2 + 4   -     x 2 + 4 Δ x = lim Δ x → 0 ⁡ 2 x Δ x + Δ x 2 Δ x ⋅ 1 x + Δ x 2 + 4   +     x 2 + 4

= lim Δ x → 0 ⁡ ⋅ 2 x + Δ x x + Δ x 2 + 4   +     x 2 + 4

Massa, agora que removemos a indeterminação do denominador, podemos substituir o Δ x = 0 no nosso limite.

lim Δ x → 0 ⁡ ⋅ 2 x + Δ x x + Δ x 2 + 4   +     x 2 + 4 =   2 x + 0 x + 0 2 + 4   +     x 2 + 4

=   x x 2 + 4

Perfeito, já conseguimos calcular a primeira parte.

A derivada de f vale:

f ' x = x x 2 + 4  

Passo 3

Bom, como calculamos f ' ( x ) , podemos agora descobrir a tangente. Pois já sabemos que a tangente ao gráfico de f no ponto x 0 = 5 é simplesmente f ' 5 . Logo:

f ' 5 = 5 5 2 + 4 = 5 ( 5 + 4 ) = 5 3

Beleza, então já sabemos que o coeficiente angular da nossa reta tangente ao gráfico vale m = 5 3 .

Mas, lembra que a equação da reta tangente em x 0 , na forma reduzida, é dada por:

y - f x 0 = m x - x 0

Ou seja, pra matarmos a questão, só precisamos descobrir quanto vale f 5 .

f 5 = 5 2 + 4 = 9 = 3

Aí é só correr pro abraço! Substituindo na nossa equação da reta tangente, vamos ter que:

y - 3 = 5 3 ( x - 5 )

Prontinho 😉

É isso aí galera, espero que vocês tenham entendido. Tamo junto!

Resposta

f ' 5   = 5 3  

y - 3 = 5 3 ( x - 5 )

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