UFES, 2018.1, Lista 6, Q01
01) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Passo 1
Faaala galerinha!! Tudo certo com vocês?
Essa questão nos pede duas coisas:
1) Determinar a derivada da função em um ponto usando a definição de derivada;
2) Determinar a reta que é tangente ao gráfico de no mesmo ponto.
Bom, vamos por partes.
Pra calcular a derivada de usando a definição precisamos calcular o seguinte limite:
Beleza! Já para calcular a tangente do gráfico em um certo ponto, precisamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto é justamente o coeficiente angular da reta tangente a esse ponto.
Passo 2
Então, mãos à obra!!
Queremos calcular:
Aqui é bem importante lembrar que a nossa variável do limite é , ele que está tendendo a zero.
Bom, essas contas com raízes são bem complicadinhas porque não conseguimos juntar elas, então vamos usar o produto notável da diferença de quadrados em um processo inverso ao da racionalização.
Multiplicando em cima e em baixo por:
Manipulando só a expressão de dentro do limite, ficamos com:
Lembrando do produto notável da diferença de quadrados:
Temos que:
Abrindo esses quadrados vem:
Top! Esse resultado é bem legal, porque quando a gente substituir de volta no nosso limite, vamos conseguir cancelar o do denominador (que é quem está causando indeterminação no nosso limite).
Massa, agora que removemos a indeterminação do denominador, podemos substituir o no nosso limite.
Perfeito, já conseguimos calcular a primeira parte.
A derivada de vale:
Passo 3
Bom, como calculamos , podemos agora descobrir a tangente. Pois já sabemos que a tangente ao gráfico de no ponto é simplesmente . Logo:
Beleza, então já sabemos que o coeficiente angular da nossa reta tangente ao gráfico vale .
Mas, lembra que a equação da reta tangente em , na forma reduzida, é dada por:
Ou seja, pra matarmos a questão, só precisamos descobrir quanto vale
Aí é só correr pro abraço! Substituindo na nossa equação da reta tangente, vamos ter que:
Prontinho 😉
É isso aí galera, espero que vocês tenham entendido. Tamo junto!