Considere todos os triângulos retângulos cujos catetos estão contidos nos eixos coordenadas e que a hipotenusa contém o ponto (3,2). A menor área que um desses triângulos pode ter é quanto?

Passo 1

E aí, galerinha! Tudo na paz por aí?

Tu se lembra o que é um triângulo retângulo? É aquele que faz 90° em algum lugar dos vértices, o clássico triângulo de Pitágoras. Esse aí que desenhei !!

Bem, imagine que ali na hipotenuse, um ponto que você tem certeza que faz parte dele é (3,2). E como é uma reta, a hipotenusa vai ter uma expressão com a carinha y = a x + b , certo?

Agora que sabemos a cara da reta e o ponto pertencente à esta reta, vem comigoooo que te mostro o caminho!

Passo 2

A reta que passa pelos ponto ( 3,2 ) e ( x 0 , 0 ) , com x 0 > 3 , tem equação com essa carinha aqui:

y = 2 x 3 - x 0 - 2 x 0 3 - x 0

E ela intercepta com os eixos coordenados quando x 0 e 2 x 0 x 0 - 3 . Tá, como eu sei disso?

Bem, quando eu interceptar o eixo x , eu sei que y precisa valer zero. E o contrário também é verdadeiro, ou seja, quando interceptamos o eixo y , x vale zero.

y = 2 x - 2 x 0 3 - x 0

Quando x = 0

y = 2 x 0 x 0 - 3

Quando y = 0

2 x = 2 x 0

x = x 0

Passo 3

Feito isto, podemos concluir que a base e altura do nosso triângulo tem comprimentos x 0 e 2 x 0 / ( x 0 - 3 ) , respectivamente.

Logo, a área desse triângulo vale quanto?

A = 2 x 0 x 0 - 3 × x 0

A = 2 x 0 2 x 0 - 3

Passo 4

Queremos encontrar a menor área possível. Toda vez que aparecer as palavrinhas “maior” ou “menor” ou coisas desse tipo, você se lembra o que podemos usar?

Se lembra que quando a gente deriva uma função e iguala ela a zero, encontramos os pontos de máximo ou mínimo dependendo do tipo de problema?

Então é exatamente isso que iremos fazer: vamos derivar nossa função, igualar a zero e depois pegar esse valor e substituir na função.

A ' x 0 = d d x 0 2 x 0 2 x 0 - 3

Vamos precisar aplicar a regra do quociente aqui!

A ' x 0 = x 0 x 0 - 12 x 0 - 3 2 = 0

Note que resolver essa equação, nós dá que x 0 = 12 .

Logo, o triângulo terá o menor valor de área quando x 0 = 12 , portanto, substituindo na equação da área em função de x 0 , temos:

A = 2 12 2 12 - 3 = 32

Resposta

32

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