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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, 2° Estágio - 2022.1, Questão 2

Use a definição de derivada para calcular a derivada de f ( x ) = x   +   x . Determine o domínio de f ' .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1.

Nosso objetivo é calcular a derivada de f ( x ) = x   +   x e determinar o domínio de f ' .

Bem, para calcularmos usando a definição da derivada precisamos revisar a definição. Lembram dela?

A derivada de uma função f é dada por:

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h

Vamos calcular a nossa derivada!

Passo 2

A derivada da nossa f é:

f ' ( x ) = l i m h → 0 f ( x + h ) - f ( x ) h

substituindo a nossa f

= l i m h → 0 x + h + x + h   - x - x h

separando as frações

= l i m h → 0 h + x + h   - x h

= l i m h → 0   1   + l i m h → 0 x + h   - x h

Agora, vamos multiplicar o numerador e denominador por x + h   + x . Então

= 1   + l i m h → 0 x + h   - x h x + h   + x x + h   + x

fazendo as contas no numerador

= 1   + l i m h → 0 x + h - x h * 1 x + h   + x

juntando tudo

= 1   + l i m h → 0 h h * 1 x + h   + x

Simplificando

= 1   + l i m h → 0 1 x + h   + x

Mas esse limite é mais simples de calcular. Já que essa fração é bem definida quando h = 0 . Então

= 1   + 1 x   + x

= 1   + 1 2 x

Prontinho, descobrimos qual é a nossa derivada.

f ' ( x ) = 1   + 1 2 x

E seu domínio é os reais positivos. Pois temos o x em uma raiz e no denominador.

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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