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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

Considere a função:

f x = 1 - 2 x 3 + x

Usando a definição de derivada, calcule f ' a . Aqui, a ≠ - 3 é um número real qualquer.

Passo 1

Vamos usar a definição da derivada nessa função, com x → a :

f ' a = lim x → a ⁡ f x - f a x - a = lim x → a ⁡ 1 - 2 x 3 + x - 1 - 2 a 3 + a x - a

Vamos juntar os termos do numerador agora,

= lim x → a ⁡ 1 - 2 x 3 + x - 1 - 2 a 3 + a x - a = lim x → a ⁡ 1 - 2 x 3 + a 3 + x 3 + a - 1 - 2 a 3 + x 3 + a 3 + x x - a

= lim x → a ⁡ 1 - 2 x 3 + a - 1 - 2 a 3 + x x - a 3 + x 3 + a

Passo 2

Fazendo a distributiva, teremos:

= lim x → a ⁡ 3 - 6 x + a - 2 a x - 3 - 6 a + x - 2 x a x - a 3 + x 3 + a

= lim x → a ⁡ - 6 x + a + 6 a - x x - a 3 + x 3 + a = lim x → a ⁡ - 7 x + 7 a x - a 3 + x 3 + a

= lim x → a ⁡ - 7 x - a x - a 3 + x 3 + a

Cortando o x - a do denominador e no numerador, podemos substituir o limite:

lim x → a ⁡ - 7 x - a x - a 3 + x 3 + a = lim x → a ⁡ - 7 3 + x 3 + a

= - 7 3 + a 3 + a = - 7 3 + a 2

Resposta

f ' a = - 7 3 + a 2

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