Em cada um dos itens abaixo, encontre a derivada da função usando a definição:

a) f(x) = x^2 + 1

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função usando a definição de derivada, que é dada pela equação:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

Dessa forma, consideramos a variável h para o cálculo do limite, x é considerado temporariamente uma constante. Então, vamos substituir f ( x ) na equação e verificar o valor da derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Colocando f x = x 2 + 1 na definição, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 + 1 - ( x 2 + 1 ) h

Expandindo a função nos parênteses:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 x h + h 2 + 1 - x 2 - 1 ) h

Cortando os termos semelhantes:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x h + h 2 h

Agora vamos colocar h em evidência:

f ' x = lim h → 0 ⁡ h ( 2 x + h ) h

Simplificando h :

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x + h

Então, quando h → 0 , obtemos:

f ' x = 2 x

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' x = 2 x

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