UFES, 2018.1, Lista 6, Q02
02) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Passo 1
Eaí pessoal, tudo certinho com vocês?
Essa questão nos pede duas coisas: a primeira é pra determinar a derivada da função em um ponto usando a definição de derivada, a segunda é pra determinar a reta que é tangente ao gráfico de no mesmo ponto.
Bom, vamos por partes.
Pra calcular a derivada de em um ponto podemos usar a definição normal de derivada, ou essa formulazinha que é bem útil em alguns casos:
Beleza! Já para calcular a tangente do gráfico em um certo ponto, precisamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto , é justamente o coeficiente angular da reta tangente a esse ponto.
Passo 2
Hora das contas!! Vamos começar pelo limite.
Olha que legal! Apenas substituindo os valores de e , conseguimos retirar a indeterminação do denominador. Então agora, basta substituir , daí vem:
Boa, matamos a primeira parte da questão!
Passo 3
Agora precisamos encontrar a equação da reta tangente. Para isso é bom lembrar a forma reduzida dela, que é:
Sabemos que é justamente o coeficiente angular da reta. Então para esse caso:
Além disso:
Portanto, a equação da reta vai ficar: