02) Use a definição de derivada de uma função para calcular f'(x₀) e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto (x0, f(x0)) .

f(x) = (x + 4) / (x + 2), x0 = 0

Passo 1

Eaí pessoal, tudo certinho com vocês?

Essa questão nos pede duas coisas: a primeira é pra determinar a derivada da função em um ponto usando a definição de derivada, a segunda é pra determinar a reta que é tangente ao gráfico de f no mesmo ponto.

Bom, vamos por partes.

Pra calcular a derivada de f em um ponto podemos usar a definição normal de derivada, ou essa formulazinha que é bem útil em alguns casos:

f ' p = lim x - p ⁡ f x - f p x - p

Beleza! Já para calcular a tangente do gráfico em um certo ponto, precisamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto x 0 , é justamente o coeficiente angular da reta tangente a esse ponto.

Passo 2

Hora das contas!! Vamos começar pelo limite.

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x + 4 x + 2 - 4 2 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x + 4 - 2 x + 2 x ⋅ x + 2

= lim x → 0 ⁡ - x x ⋅ x + 2 = lim x → 0 ⁡ - 1 x + 2

Olha que legal! Apenas substituindo os valores de f ( x ) e f ( 0 ) , conseguimos retirar a indeterminação do denominador. Então agora, basta substituir x = 0 , daí vem:

f ' 0 =   lim x → 0 ⁡ - 1 x + 2 = - 1 2

Boa, matamos a primeira parte da questão!

Passo 3

Agora precisamos encontrar a equação da reta tangente. Para isso é bom lembrar a forma reduzida dela, que é:

y - f x 0 = m x - x 0

Sabemos que f ' ( x 0 ) é justamente o coeficiente angular m da reta. Então para esse caso:

m = f ' 0 =   - 1 2

Além disso:

f 0 = 0 + 4 0 + 2 = 2

Portanto, a equação da reta vai ficar:

y - 2 =   - 1 2 ⋅ x

Resposta

f ' 0 =   - 1 2

y - 2 =   - 1 2 ⋅ x

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