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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

3. Dois objetos A e B movem-se sobre uma linha reta e suas posições em função do tempo são dadas, respectivamente, por s A ( t ) = 5 t + 1 e s B t = 5 t 3 + 1 , sendo as posições medidas em metros e o tempo em segundos.

(a) Determine as posições iniciais dos objetos, em t 0 = 0   s .

(b) Determine as posições dos objetos, em t = 1   s .

(c) Determine as velocidades médias dos objetos entre os instantes t 0 = 0   s e t = 1   s .

(d) Determine as velocidades dos objetos no instante t 0 = 0   s .

(e) Determine as velocidades dos objetos no instante t = 1   s .

(f) Em qual instante de tempo entre 0   s e 1   s os dois objetos possuem a mesma velocidade?

Passo 1

  1. Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a trajetória de dois objetos descrita na forma de função do tempo.

    2. E na letra a, a gente quer saber a posição inicial dele no instante t = 0 . Como a posição é uma função do tempo, o que devemos fazer aqui é substituir t por zero na função.

    Para o objeto A :

    s A t = 5 t + 1

    s A ( 0 ) = 5 0 + 1

    s A 0 = 1   m

    Para o o objeto B :

    s B t = 5 t 3 + 1

    s B 0 = 5 0 3 + 1

    s B 0 = + 1   m

    Ou seja, tanto A como B partem do mesmo ponto!

    Passo 2

  2. Seguindo o mesmo raciocínio aplicado para letra a, agora vamos fazer t = 1 , para achar as posições neste tempo.

    3. Para o objeto A :

    s A t = 5 t + 1

    s A ( 1 ) = 5 1 + 1

    s A 1 = 6   m

    Para o o objeto B :

    s B t = 5 t 3 + 1

    s B 1 = 5 1 3 + 1

    s B 0 = 6   m

    Ou seja, tanto A como B estarão no mesmo ponto após 1   s !

    Passo 3

  3. Agora temos que achar a velocidade média entre os instantes 0 e 1 . Ela pode ser calculada por:

    4. v m = Δ s Δ t

    Como vimos nos passos anteriores que as posições do objeto A e B são as mesmas neste intervalo, as velocidades médias serão iguais. Logo,

    v m A = v m B = 6 - 1 1 - 0

    v m A = v m B = 5   m / s

    Passo 4

  4. Então, galerinha, agora precisamos achar a velocidade em um determinado instante. Para isso temos que lembrar que velocidade é a variação da posição em relação ao tempo, ou seja, velocidade vai ser a derivada da posição em função do tempo:

    5. v = d s d t = s '

    Então vamos ter que fazer uma derivada, usando a definição, para o objeto A e uma para o objeto B , pois eles possuem trajetórias diferentes.

    Para o objeto A :

    s ' = lim t → 0 ⁡ 5 t + 1 - 5 0 + 1 t - 0

    s ' = lim t → 0 ⁡ 5 t t = 5

    Para o objeto B :

    s ' = lim t → 0 ⁡ 5 t 3 + 1 - 5 0 3 + 1 t - 0

    s ' = lim t → 0 ⁡ 5 t 3 t = lim t → 0 ⁡ 5 t 2 = 0

    Passo 5

  5. Agora vamos aplicar o mesmo raciocínio do passo anterior para t → 1 .

    6. Para o objeto A :

    s ' = lim t → 1 ⁡ 5 t + 1 - 5 1 + 1 t - 1

    s ' = lim t → 1 ⁡ 5 t - 5 t - 1 = lim t → 1 ⁡ 5 t - 1 t - 1 = 5

    Para o objeto B :

    s ' = lim t → 1 ⁡ 5 t 3 + 1 - 5 1 3 + 1 t - 1

    s ' = lim t → 1 ⁡ 5 t 3 - 5 t - 1 = lim t → 1 ⁡ 5 t 3 - 1 t - 1 = lim t → 1 ⁡ 5 t 2 + 1 t - 1 t - 1

    s ' = lim t → 1 ⁡ 5 t 2 + 1 = 10

    Passo 6

  6. Aqui temos que dizer em qual instante de tempo, objetos vão possuir a mesma velocidade. Para descobrir isso, o que temos que fazer é igualar as derivadas.

Temos que

v A = s A ' = 5

E

v B = s B ' = 15 t 2

Igualando,

v A = v B

5 = 15 t 2

t = 15 5 = 3 s

Resposta

  1. s A 0 = s B 0 = 1   m
  2. s A 1 = s B 1 = 5   m
  3. v m A = v m B = 5   m / s
  4. v A = 5   m / s e v B = 0   m / s
  5. v A = 5   m / s e v B = 1 0   m / s
  6. t = 3 s

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