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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

8 – Se a posição de um carro no instante t > 0 é dada por s ( t ) , então a sua velocidade pode ser calculada a partir do seguinte limite

lim h → 0 ⁡ s t + h - s ( t ) h

Calcule a velocidade em cada um dos casos abaixo.

a) s t = s e n ( t )

Passo 1

Olá, pessoal!!! Tudo bem? Vamos resolver essa questão?

Primeiramente, para solucionarmos o problema vamos precisar ter em mente a seguinte relação trigonométrica

s e n a + b = s e n a ∙ cos ⁡ b + s e n b ∙ cos ⁡ a e também que s e n 0 = 0 e cos ⁡ 0 = 1

Partindo, agora, para o nosso limite, temos

lim h → 0 ⁡ s e n ( t + h ) - s e n ( t ) h = lim h → 0 ⁡ s e n t ∙ cos ⁡ h + s e n h ∙ cos ⁡ t - s e n ( t ) h = lim h → 0 ⁡ s e n t ∙ cos ⁡ h + s e n h ∙ cos ⁡ t - s e n ( t ) h = lim h → 0 ⁡ s e n t ∙ ( cos ⁡ h - 1 ) + s e n h ∙ cos ⁡ t h = lim h → 0 ⁡ s e n t ∙ ( cos ⁡ h - 1 ) h + lim h → 0 ⁡ s e n h ∙ cos ⁡ t h

Ainda não podemos aplicar direto o valor de h na soma de limites acima, ou seja, precisamos fazer mais manipulações.

Passo 2

A próxima ação que a gente pode (e, nesse caso, deve) tomar, é colocar s e n ( t ) e c o s ⁡ ( t ) para fora dos seus respectivos limites, pois como estamos trabalhando com limites em função de h esses termos em função de t se comportam como constantes.

Assim,

lim h → 0 ⁡ s e n t ∙ ( cos ⁡ h - 1 ) h + lim h → 0 ⁡ s e n h ∙ cos ⁡ t h = sen t ∙ lim h → 0 ⁡ ( cos ⁡ h - 1 ) h + cos ⁡ t ∙ lim h → 0 ⁡ s e n h h

Passo 3

Para calcular o primeiro limite, vamos pegar o conjugado do numerador ( cos ⁡ h + 1 ) e multiplicar no numerador e no denominador, assim

lim h → 0 ⁡ ( cos ⁡ h - 1 ) h = lim h → 0 ⁡ ( cos ⁡ h - 1 ) ( cos ⁡ h + 1 ) h ( cos ⁡ h + 1 ) = lim h → 0 ⁡ ( cos 2 ⁡ h - 1 ) h ( cos ⁡ h + 1 ) = lim h → 0 ⁡ sen 2 ⁡ h h ( cos ⁡ h + 1 ) = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h ∙ lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ h + 1 = 1 ∙ 0 2 = 0

Aqui fizemos uso, ainda, da relação fundamental da trigonometria

s e n 2 h + c o s 2 h = 1

e do limite fundamental trigonométrico

lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = 1

e com isso, agora, pudemos aplicar o valor de h diretamente no limite.

Passo 4

O segundo limite nada mais é que o limite fundamental trigonométrico apresentado acima, ou seja, ele vale 1 .

Substituindo os valores achados para os dois limites a sua soma fica assim,

sen t ∙ lim h → 0 ⁡ ( cos ⁡ h - 1 ) h + cos ⁡ t ∙ lim h → 0 ⁡ s e n h h = s e n t ∙ 0 + cos ⁡ t ∙ 1 = cos ⁡ t

Uuufaa!! Essa foi trabalhosa, mas enfim terminamos. Até a próxima.

Resposta

a) c o s ⁡ ( t )

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