1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x0 indicado.

d. f(x) = raiz(x) e x₀ = 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 1 = lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

f ' 1 = lim x → 4 ⁡ x - 1 x - 1

Se aplicarmos 1 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 4 = lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1

Lembra que

x 2 - a 2 = x - a x + a

Repara, então, que podemos escrever denominador da seguinte forma

lim x → 1 ⁡ x - 1 x - 1 x + 1

Simplicando,

lim x → 1 ⁡ 1 x + 1 = 1 1 + 1 = 1 2

Logo,

f ' 1 = 1 2

Resposta

1 2

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