UFSC, Sem Campus, Cálculo 1, P1 - 2ªCH - 2017.2, Questão 1
Seja uma função definida em ℝ. Suponha que exista tal que, para todo ,
.
Mostre que é contínua em .
Passo 1
Eaew, tudo bem com você?
O enunciado nos dá uma função definida nos reais, em que para um , ela obedece a seguinte desigualdade
.
e, o enunciado nos pede para mostrarmos que esta função é contínua no ponto . Mas como fazemos isso? Uma função contínua em um ponto deve obedecer a seguinte relação
O segredo para mostrar que esta afirmação é verdade está em usar a desigualdade dada e o teorema do confronto! Bora lá!
Passo 2
A primeira coisa que podemos usar é que como temos uma função módulo em nossa desigualdade da forma , nós podemos expandir a desigualdade para
.
pois os valores negativos em módulo também devem obedecer a desigualdade. Se avaliarmos o limite desejado em toda a desigualdade, temos que
.
Consegue resolver este limite? Vem comigo!
Passo 3
O limite do centro pode ser resolvido, mas não nos ajuda a obter a demonstração desejada, o interessante é calcularmos os extremos da desigualdade, temos que
Avaliando o limite em , temos que
Da mesma forma, temos que
Sendo assim, a nossa desigualdade é da forma
Você consegue usar o teorema de confronto para justificar qual será o limite central? Saca só!
Passo 4
O teorema do confronto nos garante que
ou seja, podemos expandir a função para
já que já é a função avaliada em um ponto, portanto, é apenas uma número. Como temos então que
o limite da função é
que é a definição mais básica de continuidade! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!