UTFPR - Sem Campus - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Provas - Teste 9 - AV2 - 2022.1 - Questão 1
Calcule por meio da definição a derivada de (não é permitido aqui usar a regra de L’Hospital).
Passo 1
Eaew, tudo bem?
O enunciado nos dá a função
e pede para que calculemos a sua derivada! No entanto, quer que utilizemos a definição de derivada, que é dada através do seguinte limite
Ou seja, temos que utilizar a nossa função nesta definição e calcular o limite! Lembrando que não podemos utilizar L’Hospital nesta questão! Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, precisamos aplicar a função dada em
Ou seja, usando que , nós temos que
E, portanto, o limite que precisamos calcular é o seguinte
Se eu simplesmente substituir na definição, teremos uma indeterminação da forma .
Então precisamos reescrever este limite de forma a identificar o seu resultado! Vamos começar utilizando algumas identidades trigonométricas! Consegue imaginar alguma? Vem comigo!
Passo 3
Temos que e também temos que , portanto, podemos escrever que
E, o nosso limite toma a seguinte forma
Se fizermos o MMC, podemos reescrever o que está entre parênteses como
Não parece ter melhorado neh? Mas vamos tentar utilizar mais uma identidade trigonométrica! Saca só!
Passo 4
Se lembrarmos que
se identificarmos que e , podemos reescrever nosso limite como
Ou, se simplificarmos o numerador, temos que
já que . Daqui nós seremos capazes de identificar um limite fundamental, consegue visualizar? Bora lá!
Passo 5
Podemos dividir esta expressão em dois limites da forma
Lembrando o seguinte limite fundamental
E, utilizando isso para avaliar nosso limite em , temos que
Portanto, apenas reescrevendo estes termos, temos que
em que usei que . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!