Calcule f ' ( a ) usando a definição, nos seguintes casos:

f) f t = t - t ; a = 8

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada da função f ( t ) no ponto a , usando a definição de derivada. Mas como é essa definição mesmo?

Bom, para f ' ( a ) , temos a seguinte a definição:

f ' a = lim t → a ⁡ f t - f ( a ) t - a

Então, basta a gente substituir a função e o valor da função no ponto e calcular o limite.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f t = t - t

Assim, para a = 8 , temos:

f a = f 8 = 8 - 8

Nós queremos encontrar f ' ( a ) para a = 8 . Então, usando a definição do passo 1 e substituindo f t e f 8 , teremos:

f ' 8 = lim t → 8 ⁡ t - t - 8 + 8 t - 8

Pra fugir dessa indeterminação, vamos precisar usar a regra de L’Hospital. Assim, derivando numerador e denominador separadamente, temos:

f ' 8 = lim t → 8 ⁡ - 1 2 t + 1 1

f ' 8 = lim t → 8 ⁡ - 1 2 t + 1

Então, aplicando o limite, vamos obter:

f ' 8 = - 1 2 8 + 1

f ' 8 = 4 2 - 1 4 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 2 - 1 4 2

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