1. Em cada item abaixo, calcule a derivada da função no ponto x_0 indicado.

l. f(x) = 10^(x - 2) e x_0 = 2

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui precisamos calcular a derivada em um determinado ponto , f ' x 0 , usando a definição.

Para quem lembra o calculo é esse:

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f x 0 x - x 0

Agora vamos aplicar para calcular o nosso f ' x 0 .

Passo 2

O enunciado nos forneceu quem são f x e x 0 . Substituindo na definição, ficamos com

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 10 2 - 2 x - 2

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2

Se aplicarmos 2 nesse limite, caíremos em uma indeterminação do tipo 0 0 . Olha só:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2 = 0 0

Então bora sair dessa indeterminação!

Passo 3

Temos o seguinte limte:

lim x → 2 ⁡ 10 x - 2 - 1 x - 2

Pelo limite fundamental exponencial, temos aqui

lim x → 0 ⁡ a x - 1 x = ln ⁡ a

Mas repara que o nosso x → 2 e a não a zero. Então vamos fazer uma mudança de variável:

u = x - 2

u → 0

Com isso, ficamos com

lim u → 0 ⁡ 10 u - 1 u

Temos então que a = 10 e aplicando o limite fundamental exponencial, ficamos com

lim u → 0 ⁡ 10 u - 1 u = ln ⁡ 10

Logo,

f ' 2 = ln ⁡ 10

Resposta

ln ⁡ 10

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