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Exercícios Resolvidos de Definição de Derivadas

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Enunciado

UFABC – Cálculo 1 – Lista 1 – 2a

Para as seguintes funções calcule a derivada no ponto indicado através do limite do quociente de Newton:

f ' a = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

  1. f x = 3 x 3 - x   ,   a = 2

Passo 1

E aí, galerinha! Se você perceber o que o enunciado está pedindo é basicamente para usarmos a definição de derivada nas nossas funções, então olha o que está ali.

f ( a + h ) e f ( a ) '

Vamos substituir a por x pra facilitar nossa vida e entendermos melhor o que iremos fazer.

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h

O que essa definição pede é:

Pegar f ( x ) e acrescentar o valor h toda vez que aparecer o x , pra obter f x + h ; depois substituir na definição; e por fim pegar fazer x = a e calcular o limite para encontrar o valor da derivada.

Vem comigo pro segundo passo pra você entender isso melhor!!!

Passo 2

Temos f x = 3 x 3 - x

Logo se queremos ter uma f ( x + h ) isso quer dizer que precisamos acrescentar o h toda vez que tivermos o x na função, certo?

f x + h = 3 x + h 3 - x + h

f x + h = 3 x 3 + 3 x 2 h + 3 a h 2 + h 3 - ( x + h )

Passo 3

Vamos aplicar a definição agora:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f x h = lim h → 0 ⁡ 3 x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 - x + h - ( 3 x 3 - x ) h

Vamos manipular esse trem aí pra arranjar isso de forma bonitinha!!

3 x 3 + 9 x 2 h + 9 x h 2 + 3 h 3 - x - h - 3 x 3 + x h = 9 x 2 h + 9 x h 2 + 3 h 3 - h h

Colocando 3 h em evidência no numerador...

9 x 2 h + 9 x h 2 + 3 h 3 h = 3 h 3 x 2 + 3 x h + h 2 - 1 3 h

Aplicando agora o limite, temos:

f ' x = a = 2 = lim h → 0 ⁡ 9 x 2 + 9 x h + h 2 - 1 = 9 x 2 - 1 = 9 2 2 - 1 = 35

Resposta

f ' x = 35

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