UFES, 2018.1, Lista 6, Q03
03) Use a definição de derivada de uma função para calcular e determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Passo 1
Ooi gente, tudo bem com vocês?
Essa questão nos pede duas coisas: a primeira é pra determinar a derivada da função em um ponto usando a definição de derivada, a segunda é pra determinar a reta que é tangente ao gráfico de no mesmo ponto.
Bom, vamos por partes.
Pra calcular a derivada de em um ponto podemos usar a definição normal de derivada, ou essa formulazinha que é bem útil em alguns casos:
Beleza! Já para calcular a tangente do gráfico em um certo ponto, precisamos lembrar que a derivada de uma função em um ponto , é justamente o coeficiente angular da reta tangente a esse ponto.
Passo 2
Então bora lá, começando pelo cálculo de :
Mas
Então, voltando pro limite:
Fazendo , temos:
Aee, excelente. Já conseguimos descobrir que
Passo 3
Agora vamos encontrar a equação da reta tangente a em .
É importante lembrar que o coeficiente angular da reta tangente é justamente .
Além disso, a equação da reta na forma reduzida é:
Só precisamos descobrir quanto vale :
Pronto!! É só finalizar:
😊