Sabemos que a velocidade de um objeto em um determinado instante t 0 é o coeficiente angular da reta que é tangente na abscissa t 0 ao gráfico da posição s(t) em função do tempo t. Com isso, definimos derivada e esta tem a mesma fórmula que usamos para o cálculo do coeficiente angular. Assim, a derivada da posição é a velocidade (em fórmula, isso fica v t = s ' ( t ) ).

  1. O movimento retilíneo uniforme (MRU) é caracterizado por ser um movimento com velocidade constante. Considerando o instante inicial de movimento como t 0 = 0 , a posição inicial como s 0 e a velocidade como sendo v 0 , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é s t = s 0 + v 0 t . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento s t = s 0 + v 0 t tem velocidade v t = v 0 em qualquer instante t (concluindo que o movimento possui, de fato, velocidade constante).
  2. O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com aceleração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme). Considerando o instante inicial de movimento como t 0 = 0 , a posição inicial como s 0 , a velocidade inicial como sendo v 0 e a aceleração como a , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é s t = s 0 + v 0 t + a t 2 2 e para a velocidade é v t = v 0 + a t . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento s t = s 0 + v 0 t + a t 2 2 tem velocidade v t = v 0 + a t (concluindo que as fórmulas para o MRUV são válidas).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?

O problema deu essa função aqui de posição em função do tempo na letra (a):

s t = s 0 + v 0 t

E pediu para aplicarmos nosso conhecimento em derivadas e mostrar que a velocidade é constante! Bom, aprendemos que a velocidade é a derivada temporal da posição

v t = d d t s t

Então dada a equação que descreve a posição em função do tempo

s t = s 0 + v 0 t

Para achar a velocidade basta derivar!

E na letra (b)? nela o problema nos dá outra equação de movimento! E pede para encontrarmos novamente a velocidade! Aí você já sabe: #partiu derivar!

Mas relaxa!

Vamos fazer passo a passo, juntinhos!

Passo 2

Letra (a):

A função da posição em função do tempo para o MRU é a seguinte

s t = s 0 + v 0 t

Agora vamos derivar ela em relação ao tempo! Note que s 0 e v 0 são constantes!

d d t s t = s ' t = d d t s 0 + v 0 t = v 0

Tranquilo?

Assim temos que a velocidade do móvel é sempre a mesma:

v t = v 0

Beleza?

Passo 3

Letra (b):

Agora a equação da posição em função do tempo (para o MRUV) é

s t = s 0 + v 0 t + a t 2 2

E queremos determinar como a velocidade é dada em função do tempo t . Você já sabe: a velocidade é a derivada temporal da posição! Então #partiu derivar

v t = s ' t = d d t s 0 + v 0 t + a t 2 2

Lembrando que derivada de constante é zero! Aí temos a equação da velocidade no MRUV:

v t = v 0 + a t

E taí nosso resultado! Recapitulando: seja no MRU, MRUV ou qualquer outro tipo de movimento, a velocidade de um corpo é a derivada temporal da equação para a posição desse corpo!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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