UFSC – Cálculo 1 – Lista 2.2 – Questão C3
Sabemos que a velocidade de um objeto em um determinado instante é o coeficiente angular da reta que é tangente na abscissa ao gráfico da posição s(t) em função do tempo t. Com isso, definimos derivada e esta tem a mesma fórmula que usamos para o cálculo do coeficiente angular. Assim, a derivada da posição é a velocidade (em fórmula, isso fica ).
- O movimento retilíneo uniforme (MRU) é caracterizado por ser um movimento com velocidade constante. Considerando o instante inicial de movimento como , a posição inicial como e a velocidade como sendo , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento tem velocidade em qualquer instante (concluindo que o movimento possui, de fato, velocidade constante).
- O movimento retilíneo uniforme variado (MRUV) é caracterizado por ser um movimento com aceleração constante (nesse caso a velocidade pode variar, mas de maneira uniforme). Considerando o instante inicial de movimento como , a posição inicial como , a velocidade inicial como sendo e a aceleração como , a fórmula que foi passada na escola para a posição do objeto é e para a velocidade é . Utilize seu conhecimento recém aprendido de derivada para mostrar que um objeto que possui a equação de movimento tem velocidade (concluindo que as fórmulas para o MRUV são válidas).
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem?
Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Bora lá?
O problema deu essa função aqui de posição em função do tempo na letra (a):
E pediu para aplicarmos nosso conhecimento em derivadas e mostrar que a velocidade é constante! Bom, aprendemos que a velocidade é a derivada temporal da posição
Então dada a equação que descreve a posição em função do tempo
Para achar a velocidade basta derivar!
E na letra (b)? nela o problema nos dá outra equação de movimento! E pede para encontrarmos novamente a velocidade! Aí você já sabe: #partiu derivar!
Mas relaxa!
Vamos fazer passo a passo, juntinhos!
Passo 2
Letra (a):
A função da posição em função do tempo para o MRU é a seguinte
Agora vamos derivar ela em relação ao tempo! Note que e são constantes!
Tranquilo?
Assim temos que a velocidade do móvel é sempre a mesma:
Beleza?
Passo 3
Letra (b):
Agora a equação da posição em função do tempo (para o MRUV) é
E queremos determinar como a velocidade é dada em função do tempo . Você já sabe: a velocidade é a derivada temporal da posição! Então #partiu derivar
Lembrando que derivada de constante é zero! Aí temos a equação da velocidade no MRUV:
E taí nosso resultado! Recapitulando: seja no MRU, MRUV ou qualquer outro tipo de movimento, a velocidade de um corpo é a derivada temporal da equação para a posição desse corpo!
Beleza?
Espero ter ajudado!