UTFPR– Cálculo Diferencial e Integral I – AVA2 – Questão 6
Utilizando a definição, calcule a derivada de
Passo 1
Tudo bem galera? O problema nos deu essa função aqui
E pediu para calcularmos sua derivada, até aqui tudo ok. Mas ele pede para utilizarmos a definição de derivada
Você lembra dela?
Vem comigo! Supondo uma função qualquer, a derivada dela é definida através do seguinte limite
Então nossa missão é achar através da função dada, jogar aí nesse limite e calcular!
Fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Bora começar?
Passo 2
Nossa função é
Agora ao invés de colocar , vamos colocar :
Beleza até aqui?
No nosso limite temos que achar a diferença entre essas expressões
Daí
Ficou feio né?
Mas calma! Aos poucos vamos arrumando! Precisamos abrir o produto notável e simplificar tudo que for possível!
E simplificando
Guarda esse resultado!
Passo 3
Retornando para nossa diferença temos
Mas o que precisamos mesmo calcular é essa razão aqui
Pois é ela que vamos avaliar no limite quando . Então vamos dividir nossa expressão por e simplificar:
Tudo bem até aqui?
chegou a hora! Vamos calcular o limite dessa coisa!
Quando , tudo que não depende de pode sair para fora do limite, e quando ele some!
Retornando para nosso limite
E será que encontramos o mesmo resultado derivando com as regras que conhecemos?
Chegamos no mesmo resultado! (lembrando que derivada de constante é zero)
E é isso galera! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?