Utilizando a definição, calcule a derivada de f(x) = x^2 - 3x + 1

Passo 1

Tudo bem galera? O problema nos deu essa função aqui

f x = x 2 - 3 x + 1

E pediu para calcularmos sua derivada, até aqui tudo ok. Mas ele pede para utilizarmos a definição de derivada

Você lembra dela?

Vem comigo! Supondo uma função f ( x ) qualquer, a derivada dela é definida através do seguinte limite

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Então nossa missão é achar f ( x + h ) através da função dada, jogar aí nesse limite e calcular!

Fica tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Bora começar?

Passo 2

Nossa função é

f x = x 2 - 3 x + 1

Agora ao invés de colocar x , vamos colocar ( x + h ) :

f x + h = ( x + h ) 2 - 3 ( x + h ) + 1

Beleza até aqui?

No nosso limite temos que achar a diferença entre essas expressões

f x + h - f ( x )

Daí

( x + h ) 2 - 3 x + h + 1 - x 2 - 3 x + 1

Ficou feio né?

Mas calma! Aos poucos vamos arrumando! Precisamos abrir o produto notável e simplificar tudo que for possível!

x 2 + 2 x h + h 2 - 3 x - 3 h + 1 - x 2 + 3 x - 1

E simplificando

2 x h + h 2 - 3 h

Guarda esse resultado!

Passo 3

Retornando para nossa diferença f x + h - f ( x ) temos

2 x h + h 2 - 3 h

Mas o que precisamos mesmo calcular é essa razão aqui

f x + h - f x h

Pois é ela que vamos avaliar no limite quando h → 0 . Então vamos dividir nossa expressão por h e simplificar:

f x + h - f x h = 2 x h + h 2 - 3 h h

= 2 x h h + h 2 h - 3 h h = 2 x + h - 3

Tudo bem até aqui?

chegou a hora! Vamos calcular o limite dessa coisa!

lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

lim h → 0 ⁡ 2 x + h - 3

Quando h → 0 , tudo que não depende de h pode sair para fora do limite, e quando h = 0 ele some!

Retornando para nosso limite

lim h → 0 ⁡ 2 x + h - 3 = 2 x - 3

E será que encontramos o mesmo resultado derivando com as regras que conhecemos?

f x = x 2 - 3 x + 1

f ' x = 2 x 2 - 1 - 3 x 1 - 1 = 2 x - 3

Chegamos no mesmo resultado! (lembrando que derivada de constante é zero)

E é isso galera! Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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