Considere a função f : ℝ → ℝ definida por f ( x ) = x | x | .

a ) Determine f ' ( x ) para todo x ≠ 0 ;

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

Temos uma função f : ℝ → ℝ , com a definição

f ( x ) = x | x |

precisamos calcular a sua derivada! Para isso, vamos lembrar a definição da função módulo, em que para x < 0 temos que | x | = - x , e para x > 0 , temos que | x | = x . Saca só!

Passo 2

Tendo a definição de módulo, podemos visualizar a nossa função como

f ( x ) = - x 2 ,   x < 0

e,

f ( x ) = x 2 ,   x > 0

Se usarmos a regra do tombo, temos que

d d x [ x n ] = n   x n - 1

obtemos então que

f ' ( x ) = - 2 x ,   x < 0

e, temos que

f ' ( x ) = 2 x ,   x > 0

Aí está! A primeira alternativa foi isso! Te vejo na próxima!

Resposta

f ' ( x ) = - 2 x ,   x < 0 e f ' ( x ) = 2 x ,   x > 0

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