Um reservatório cilíndrico circular de diâmetro D = 1,00   m contém um combustível líquido com densidade ρ = 660   k g / m 3 , suposto ideal, Esse reservatório possui uma tampa pesada, de massa M = 240   k g , que pode se mover verticalmente, em m contato permanente com o fluido e exercendo pressão sobre sua superfície. Acima da tampa existe ar à pressão atmosférica. Na região lateral desse reservatório, mais abaixo, há uma abertura com uma válvula conectada a um tubo horizontal de diâmetro d = 0,100   m , para escoar o fluido. A válvula é aberta quando a distância vertical entre a superfície do líquido e o centro do tubo é de H = 2,00   m . Considere g = 10,0   m / s 2 .

a ) Calcule a velocidade do fluido no tubo horizontal.

b ) Determine a vazão e a velocidade de descida da tampa.

c ) Coloca-se, na extremidade do tudo, um bico com diâmetro de saída igual à metade do diâmetro do tubo. Determine a nova vazão e a pressão manométrica no centro do tubo.

Passo 1

a )

Para calcular a velocidade do fluido no tubo horizontal, vamos utilizar a equação de Bernoulli, iremos utilizar os pontos 1 e 2 que estão destacados na figura! Se liga

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Substituindo os valores dados, temos:

p 0 + M . g A + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Repare que no ponto 1 , a pressão é a soma da pressão atmosférica com a pressão exercida pela tampa. Além disso estou considerando h 2 = 0 e por conta disso, h 1 = H = 2,00 .

p 0 + 240 .   10 π . 0,5 2 + 1 2 660 . v 1 2 + 660 .   10 .   2,00 = p 0 + 1 2 660 v 2 2 + 660 . 10.0

330 . v 2 2 = 9600 π + 330 . v 1 2 + 13200

Sabemos, que para um escoamento incompressível, temos a seguinte relação:

A 1 . v 1 = A 2 . v 2

π . 0,5 2 . v 1 = π . 0,05 2 . v 2

v 1 = 0,01   . v 2

Substituindo na equação de Bernoulli, temos:

330 . v 2 2 = 9600 π + 330 . 0,01 . v 2 2 + 13200

330 - 0,033 . v 2 2 = 16255,77

v 2 2 = 49,26

v 2 = 7,02   m / s

Passo 2

b )

Para calcular a vazão, podemos utilizar qualquer ponto, pois por se tratar de um líquido incompressível, a vazão será sempre a mesma. Como já temos a velocidade no ponto 2 , iremos utilizar esse ponto para achar a vazão.

R = A 2 . v 2

R = π . 0,05 2 .   7,02

R = 0,0551   m 3 / s

A velocidade de descida tampa será a mesma velocidade de escoamento do líquido no ponto 1 , pela relação entre v 1 e v 2 que já tínhamos achado, temos:

v 1 = 0,01   . v 2

v 1 = 0,01 .   7,02

v 1 = 0,070   m / s

Passo 3

c )

Pela equação de Bernoulli, podemos perceber que a velocidade no tubo horizontal não depende do diâmetro do tubo, e sim da sua altura, portanto, a velocidade no bico continua a mesma do tubo v 3 = 7,02   m / s . Portanto, a nova vazão será:

R ' = A 3 . v 3

R ' = π . 0,025 2 . 7,02 = 0,0138   m 3 / s

Para determinar a pressão manométrica no centro do tubo, vamos, mais uma vez, utilizar a equação de Bernoulli, só que agora entre, um ponto no tubo e um ponto no bico:

p ' 2 + 1 2 ρ v ' 2 2 + ρ g h 2 = p 3 + 1 2 ρ v 3 2 + ρ g h 3

p ' 2 + 1 2 ρ v ' 2 2 + ρ g . h = p 0 + 1 2 ρ v 3 2 + ρ g . h

Podemos determinar a nova velocidade v ' 2 pela seguinte relação:

A 2 . v ' 2 = A 3 . v 3

π . 0,05 2 . v ' 2 = π . 0,025 2 . 7,02

v ' 2 = 1,76   m / s

Substituindo na equação de Bernoulli, temos:

p ' 2 + 1 2 660 . 1,76 2 + 660 .   10.0 = p 0 + 1 2 660 . 7,02 2 + 660.10.0

p ' 2 - p 0 = 330 . 7,02 2 - 1,76 2 = 15240

p ' 2 - p 0 = 1,52 × 10 4   P a

Como é pedida a pressão manométrica, tivemos que subtrair a pressão atmosférica p 0 .

Resposta

a ) v 2 = 7,02   m / s

b ) R = 0,0551   m 3 / s ; v 1 = 0,070   m / s

c ) R ' = 0,0138   m 3 / s ; p ' 2 - p 0 = 1,52 × 10 4   P a

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