Um cabo coaxial é composto por um fio sólido, cilíndrico, circular, de raio , e uma casca espessa, cilíndrica, também circular, coaxial, de raios e , tais que . Ambos os cilindros são muito longos. Através do fio interno, passa uma corrente elétrica, estacionária, cuja densidade de corrente é , enquanto que, através da casca externa, passa uma corrente elétrica, também estacionária, com densidade de corrente .
- Qual é a (intensidade de) corrente elétrica no fio interno?
- Qual é a (intensidade de) corrente elétrica na casca externa?
- Determine o campo magnético em cada uma das quatro regiões típicas em que o cabo “divide” o espaço.
Passo 1
Sejam e as correntes nos fios interno e externo respectivamente. A intensidade de corrente elétrica pode ser calculada pela fórmula:
Onde é a seção reta do fio com uma certa orientação. Vamos estipular a orientação positiva, ou seja, o vetor área apontando no sentido de :
Fazendo o produto escalar para o fio interno:
Como é uma constante, sai fora da integral:
Integrando na seção reta do fio temos sua área:
Passo 2
Em seguida fazemos o mesmo para a casca externa:
Onde é a seção reta da casca cilíndrica externa. Temos que usar a mesma orientação da área de antes, senão nada faz sentido. O produto vetorial resulta:
Plugando na integral temos:
Integrando na casca cilíndrica externa obtemos sua área:
Passo 3
Vamos agora fazer um argumento genérico para todas as regiões de campo magnético e depois vamos só substituindo a corrente. Por se tratar de fios cilíndricos muito longos, temos uma simetria circular no campo magnético do problema.
Enunciando a Lei de Ampère:
Portanto escolhemos uma curva Amperiana circular de raio arbitrário . De forma que:
Em toda , o que implica:
Passo 4
Além disso temos que, pela configuração do campo, o módulo deste é constante em toda , portanto:
A integral de pedaços infinitesimais na Amperiana resulta no comprimento desta:
Como se trata de uma circunferência de raio , temos:
Como arbitramos tudo no sentido positivo de , basta multiplicar por para achar o sentido positivo do campo magnético. Quando a corrente for negativa ela já vai nos apontar o campo correto.
Agora a questão se resume a achar a corrente.
Passo 5
Na região , temos que a corrente interna é:
Onde nesse caso é o circulo de raio . Logo:
Logo o campo é:
Passo 6
Agora para a região temos que a única corrente é a do fio de raio que nós já tínhamos calculado na letra a, portanto:
Substituindo na equação de campo:
Passo 7
Para a região temos que a corrente interna tem contribuição tanto do fio de raio quanto da parte da casca que está dentro da Amperiana. Portanto:
Lembrando que a região entre e não tem corrente.
A corrente entre a casca externa e a Amperiana pode ser obtida pela integral (sério, até dá pra fazer sem a integral nesse caso pois é constante, mas se acostume a fazer com a integral que a chance de erro é bem menor):
Portanto a corrente interna é:
O campo então fica:
Passo 8
Por fim, a região pega somente a soma das correntes totais que tínhamos encontrado nas letras a e b:
Resposta
a)
b)
c)