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Exercícios Resolvidos de Momento Angular

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Enunciado

Rotação, Dinâmica de Rotação, Momento Angular, Corpos Rígidos

Um cilindro oco (raio r = 0.5   m , M = 15   k g ) rola para baixo em um plano inclinado (ângulo α = π 6 ) sem deslizar. Sobre a superfície do cilindro corre um menino (massa m = 30   k g , que pode ser considerada como puntiforme), e ele consegue ficar sempre no ponto mais alto do cilindro. Considere g = 10 m / s 2 .

a ) Calcule o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo instantâneo O .

b ) Ache a expressão para momento angular do sistema em torno do ponto O em termos das massas, ângulo, raio e velocidade do centro de massa.

c ) Qual é o torque total de forcas externas sobre o sistema em relação do ponto O ?

d ) Calcule o módulo da aceleração do cento de massa do cilindro.

Passo 1

a )

Usando o teorema dos eixos paralelos:

I O = I C M + M r 2

I O = M r 2 + M r 2

I O = 2 M r 2

I 0 = 2   .   15   .   0,5 2

I O = 7,5   k g . m 2

Passo 2

b )

Neste caso o momento angular será dado por:

L O = L c i l i n d r o + L m e n i n o

Onde:

L c i l i n d r o = I O ω

E lembrando-se da definição L → = r → × m v → :

L m e n i n o = m . v . l

Onde l é distancia perpendicular do ponto O à linha da direção do vetor v → . E a velocidade v do menino é igual à velocidade do centro de massa.

Logo:

L O = I O ω + m v l

Da geometria:

l = r ( 1 + cos ⁡ α )

Como o cilindro rola sem deslizar podemos utilizar a relação:

v = ω . r

ω = v r

Substituindo em no momento angular temos

L O = I O ω + m . v . l

L O = 2 M r 2 . v r + m . v . r ( 1 + cos ⁡ α )

L O = 2 M + m 1 + cos ⁡ α r . v

Passo 3

c )

Torque da força do peso:

τ O = r → × F →

Pegando apenas a parte perpendicular da distância

τ O = r sen ⁡ α . M + m g

τ O = M + m g . r sen ⁡ α

Passo 4

d )

O Centro de massa e o eixo de rotação O se movem paralelo.

Da fórmula temos:

d L O d t = τ O

E também temos:

d L O d t = d d t 2 M + m 1 + cos ⁡ α r . v

d L O d t = ( 2 M + m ( 1 + cos ⁡ α ) r a

Igualando as fórmulas temos:

τ O = ( 2 M + m ( 1 + cos ⁡ α ) r a

M + m g . r sen ⁡ α = ( 2 M + m ( 1 + cos ⁡ α ) r a

a = ( M + m ) g sen ⁡ α 2 M + m 1 + cos ⁡ α

a = 15 + 30 10   . 1 2 2   .   15 + 30 1 + 3 2

a = 2   .   45   .   5 2   .   30 + 30 2 + 3

a = 90   .   5 30 4 + 3

a ≅ 15 5,73

a ≅ 2,6   m / s 2

Resposta

a )   I O = 7,5   k g . m 2

b )   L O = 2 M + m 1 + cos ⁡ α r . v

c )   τ O = M + m g . r sen ⁡ α

d )   a ≅ 2,6   m / s 2

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